О решетках конгруэнций алгебр с оператором и симметрической основной операцией
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-103-115
Аннотация
В статье изучаются свойства решеток конгруэнций алгебр с одним оператором и основной операцией меньшинства, определенной специальным образом и называемой симметрической. Операцией меньшинства называется тернарная операция 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧), удовлетворяющая тождествам 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦, 𝑥, 𝑦) = 𝑥. Алгебра называется цепной, если она имеет линейно упорядоченную решетку конгруэнций. Алгебра подпрямо неразложима, если она имеет наименьшую ненулевую конгруэнцию. Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра, сигнатура которой состоит из двух непустых непересекающихся частей: основной, которая может содержать произвольные операции, и дополнительной, состоящей из операторов. Операторами называются унарные операции, действующие как эндоморфизмы относительно основных операций, то есть перестановочные с основными операциями. Унаром называется алгебра с одной унарной операцией. Если 𝑓 — унарная операция из сигнатуры Ω, то унар ⟨𝐴, 𝑓⟩ называется унарным редуктом алгебры ⟨𝐴,Ω⟩.
Получено описание алгебр с одним оператором и основной симметрической операцией, решетка конгруэнций которых является цепью. Показано, что алгебра данного класса является цепной тогда и только тогда, когда она подпрямо неразложима. Получено описание алгебр данного класса, решетки конгруэнций которых совпадают с решетками конгруэнций унарных редуктов этих алгебр.
Об авторе
Вадим Леонидович Усольцев
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Tamura T. Commutative semigroups whose lattice of congruences is a chain // Bull. Soc. Math. France, 97 (1969), 369–380.
2. Schein B. M. Commutative semigroups where congruences form a chain // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 17 (1969), 523–527.
3. Schein B. M. Corrigenda to "Commutative semigroups where congruences form a chain" // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 23 (1975), 1247–1248.
4. Nagy A., Jones P. R. Permutative Semigroups Whose Congruences Form a Chain // Semigroup Forum. 2004. Vol. 69. P. 446–456.
5. Kozhukhov I. B. Left chain semigroups // Semigroup Forum. 1981. Vol. 22. P. 1–8.
6. https://doi.org/10.1007/BF02572781
7. Popovich A. L., Jones P. R. On congruence lattices of nilsemigroups // Semigroup Forum. 2017. Vol. 95, No. 2. P. 314–320.
8. Goldberg M. S. Distributive double p-algebras whose congruence lattices are chains // Algebra Universalis. 1983. Vol. 17. P. 208—215. https://doi.org/10.1007/BF01194530
9. Егорова Д. П. Структура конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки. Вып. 5. Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1978. С. 11–44.
10. Карташова А. В. Коммутативные унарные алгебры с линейно упорядоченной решеткой конгруэнций // Мат. заметки. 2014. Т. 95, № 1. С. 80-92.
11. Szendrei A. Clones in universal algebra. Montr´eal: Les presses de l’Universit´e de Montr´eal, 1986.
12. p.
13. Hyndman J., Nation J. B., Nishida J. Congruence lattices of semilattices with operators // Studia Logica. 2016. Vol. 104. № 2. P. 305–316.
14. Garcia P., Esteva F. On Ockham Algebras: Congruence Lattices and Subdirectly Irreducible Algebras // Studia Logica. 1995. Vol. 55. P. 319–346.
15. Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. докл. межд. семинара, посв. памяти проф. Л. А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. С. 31–32.
16. Усольцев В. Л. О рисовском замыкании в некоторых классах алгебр с оператором // Чебышевский сборник. 2021. Том 22, № 2(78). С. 271–287.
17. Усольцев В. Л. Унары с тернарной мальцевской операцией // Успехи математических наук. 2008. Т. 63, вып. 5. С. 201–202.
18. Усольцев В. Л. О подпрямо неразложимых унарах с мальцевской операцией // Изв. Волгоградского гос. пед. ун-та, сер. "Ест. и физ.-мат. науки". 2005. № 4(13). С. 17–24.
19. Усольцев В. Л. О полиномиально полных и абелевых унарах с мальцевской операцией // Уч. зап. Орловского гос. ун-та. 2012. Т. 6(50). Ч. 2. С. 229–236.
20. Усольцев В. Л. О гамильтоновых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2014. Т. 15, вып. 3(51). С. 100–113.
21. Mar´oti M., McKenzie R. Existence theorems for weakly symmetric operations // Algebra Universalis. 2008. Vol. 59. № 3-4. P. 463–489.
22. Bulatov A., Krokhin A., Jeavons P. The complexity of constraint satisfaction: An algebraic approach // Structural Theory of Automata, Semigroups and Universal Algebra. Berlin: Springer-Verlag, 2005. P. 181–213.
23. Baker K. A., Pixley A. Polynomial interpolation and the Chinese Remainder Theorem for algebraic systems // Math. Zeitschrift. 1975. V. 143. P. 165–174.
24. Markovi´c P., McKenzie R. Few subpowers, congruence distributivity and near-unanimity terms // Algebra Universalis. 2008. Vol. 58. P. 119–128.
25. Usol’tsev, V. L. Subdirectly Irreducible Algebras in One Class of Algebras with One Operator and the Main Near-Unanimity Operation // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42, № 1. P. 206–216.
26. Усольцев В. Л. О решетках конгруэнций алгебр с одним оператором и основной операцией почти единогласия // Научно-техн. вестник Поволжья. 2016. Вып. 2. С. 28–30.
27. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras ⟨𝐴; 𝑓⟩ // Arch. Math. (Basel) 1970. Vol. 21. P. 256–264.
28. Лата А. Н. О конгруэнц-когерентных алгебрах Риса и алгебрах с оператором // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 2(62). С. 154–172.
29. Усольцев В. Л. Подпрямая неразложимость и атомы решеток конгруэнций алгебр с оператором и симметрической основной операцией // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, вып. 2(78). С. 257–270.
30. Usoltsev V. L. Simple and pseudosimple algebras with operators // Journal of Mathematical Sciences. 2010. Vol. 164, № 2. P. 281–293.
Рецензия
Для цитирования:
Усольцев В.Л. О решетках конгруэнций алгебр с оператором и симметрической основной операцией. Чебышевский сборник. 2024;25(1):103-115. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-103-115
For citation:
Usoltsev V.L. On congruence lattices of algebras with an operator and the symmetric main operation. Chebyshevskii Sbornik. 2024;25(1):103-115. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-103-115
Просмотров:
247
Послать статью по эл. почте 