Функциональная система представляет собой множество функций с некоторым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого же множества.
Функциональные системы являются одним из основных объектов дискретной математики и математической кибернетики, поскольку они являются математическими моделями реальных и абстрактных управляющих систем.
Проблематика функциональных систем обширна. Одной из основных задач является проблема полноты, состоящая в описании таких подсистем функций, которые являются
полными, т.е. из этих функций с помощью заданных операций над ними можно получить все функции.
В статье рассматривается функциональная система рациональных функций с рациональными коэффициентами, где в качестве операций выступают операции суперпозиции и для этой системы исследуется задача о базисах полных систем, а именно:

Имеет ли каждая полная система (конечный) базис?
Существует ли для любого положительного целого числа n базис полной системы, состоящий из 𝑛 функций?
Найти конкретные базисы из n функций (𝑛 = 1, 2, 3, ...).

Ответы на все эти вопросы положительные, что и является основным результатом данной статьи.

Пусть 𝑋− достаточно большое действительное число, 𝑏1, 𝑏2- целые числа с условием 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2 ⩽ 𝑋, 𝑎𝑖𝑗 , (𝑖 = 1, 2; 𝑗 = 1, 4)− целые положительные числа, 𝑝1, . . . , 𝑝4− простые числа. Положим 𝐵 = max {3 |𝑎𝑖𝑗|} , (𝑖 = 1, 2; 𝑗 = 1, 4), ¯𝑏= (𝑏1, 𝑏2), 𝐾 = 9√2𝐵3
⃒ ⃒¯𝑏⃒⃒,𝐸2,4(𝑋) ={︀𝑏𝑖⃒⃒ 1 ≤ 𝑏𝑖 ≤ 𝑋, 𝑏𝑖 ̸= 𝑎𝑖1𝑝1 + · · · + 𝑎𝑖4𝑝4, 𝑖 = 1, 2}︀. В работе изучено разрешимость системы 𝑏𝑖 = 𝑎𝑖1𝑝1 + · · · + 𝑎𝑖4𝑝4, (𝑖 = 1, 2), в простых числах 𝑝1, . . . , 𝑝4 и впервые получена степенная оценка для исключительного множества 𝐸2,4(𝑋) и оценка снизу для 𝑅(¯ 𝑏)− количество решений рассматриваемый системы в простых числах, а именно доказано, что если 𝑋 - достаточно большое, а 𝛿(0 < 𝛿 < 1) достаточно малое действительные числа, тогда: существует достаточно большое число 𝐴, такое, что при 𝑋 > 𝐵𝐴 справедлива оценка 𝐸2,4(𝑋) < 𝑋2−𝛿 и для 𝑅(¯𝑏) при заданном ¯𝑏= (𝑏1, 𝑏2), 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2 ⩽ 𝑋 справедлива
оценка 𝑅(¯ 𝑏) ⩾ 𝐾2−𝛿(ln𝐾)−4, для всех ¯𝑏= (𝑏1, 𝑏2) за исключением не более чем 𝑋2−𝛿 пар из них.

В этой статье оценивается скорость сходимости средних Чезаро двойного ряда Фурье для 2𝜋-периодической функции по каждой переменной и обобщенной ограниченной вариации. Полученный результат является обобщением результата С. М. Мажара для одного
ряда Фурье и нашего более раннего результата для функции двух переменных.

Классическим свойством непостоянной 2𝑟-периодической функции на вещественной оси является отсутствие у нее периода, несоизмеримого с 𝑟. Одним из многомерных аналогов этого утверждения является следующая хорошо известная теорема Л. Зальцмана о двух радиусах: для существования ненулевой локально суммируемой функции 𝑓 : R𝑛 → C с нулевыми интегралами по всем шарам радиусов 𝑟1 и 𝑟2 в R𝑛, необходимо и достаточно, чтобы 𝑟1/𝑟2 ∈ 𝐸𝑛, где 𝐸𝑛 — множество всевозможных отношений положительных нулей функции Бесселя 𝐽𝑛/2. Условие 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛 эквивалентно равенству 𝒵+ (︀̃︀𝜒𝑟1)︀∩𝒵+(︀̃︀𝜒𝑟2)︀= ∅,
где 𝜒𝑟 — индикатор шара 𝐵𝑟 = {𝑥 ∈ R𝑛 : |𝑥| < 𝑟}, ̃︀𝜒𝑟 — сферическое преобразование (преобразование Фурье-Бесселя) индикатора 𝜒𝑟, 𝒵+(̃︀𝜒𝑟) — множество всех положительных нулей четной целой функции ̃︀𝜒𝑟. В терминах сверток теорема о двух радиусах означает,
что оператор

$$𝒫𝑓 = (𝑓 * 𝜒𝑟1 , 𝑓 * 𝜒𝑟2 ), 𝑓 ∈ 𝐿^(1,loc) (R𝑛)$$

инъективен тогда и только тогда, когда 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. В данной работе найдена новая формула обращения оператора 𝒫 при условии 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. Полученный результат существенно упрощает известные ранее процедуры восстановления функции 𝑓 по заданным шаровым средним 𝑓 *𝜒𝑟1 и 𝑓 *𝜒𝑟2 . В доказательствах используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций.

Проблема Ферма — Штейнера состоит в поиске всех точек метрического пространства 𝑌 таких, что сумма расстояний от каждой из них до точек из некоторого фиксированного конечного подмножества 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} пространства 𝑌 минимальна. В настоящей работе эта проблема рассматривается в случае, когда 𝑌 = ℋ(𝑋) — это пространство непустых компактных подмножеств конечномерного нормированного пространства 𝑋, наделённое
метрикой Хаусдорфа, то есть ℋ(𝑋) является гиперпространством над 𝑋. Множество 𝐴 называют границей, все 𝐴𝑖 — граничными множествами, а компакты, которые реализуют минимум суммы расстояний до 𝐴𝑖 — компактами Штейнера.
В данной статье изучается вопрос устойчивости в проблеме Ферма — Штейнера при переходе от границы из конечных компактов 𝐴𝑖 к границе, состоящей из их выпуклых оболочек Conv(𝐴𝑖). Под устойчивостью здесь имеется в виду, что при переходе к выпуклым оболочкам граничных компактов минимум суммы расстояний 𝑆𝐴 не изменится.
В работе было продолжено изучение геометрических объектов, а именно, множеств сцепки, возникающих в проблеме Ферма — Штейнера. Также были выведены три различных достаточных условия неустойчивости границы из ℋ(𝑋), два из которых опи-
раются на построенную теорию таких множеств. Для случая неустойчивой границы 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} был разработан метод поиска деформаций некоторого элемента из ℋ(𝑋), которые приводят к компактам, дающим меньшее значение суммы расстояний до Conv(𝐴𝑖), чем 𝑆𝐴.
Построенная в рамках данного исследования теория была применена к одной известной из недавних работ границе 𝐴 ⊂ ℋ(R2), а именно, была доказана её неустойчивость и были
найдены компакты, реализующие меньшую, чем 𝑆𝐴, сумму расстояний до Conv(𝐴𝑖).

Вопрос интегрируемости преобразования Фурье и других интегральных преобразований ℱ(𝑓) на классах функций в весовых пространствах 𝐿𝑝(R𝑑) является фундаментальной проблемой гармонического анализа. Классический результат Хаусдорфа—Юнга говорит, что если функция 𝑓 из 𝐿𝑝(R𝑑) при 𝑝 ∈ [1, 2], то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝′(R𝑑).
При 𝑝 > 2 преобразование Фурье в общей ситуации будет обобщенной функцией. Определить преобразование Фурье как обычную функцию при 𝑝 > 2 можно за счет рассмотрения
весовых пространств 𝐿𝑝(R𝑑). В частности, из классического неравенства Питта следует, что если 𝑝, 𝑞 ∈ (1,∞), 𝛿 = 𝑑( 1𝑞 − 1𝑝′ ), 𝛾 ∈ [(𝛿)+, 𝑑𝑞 ) и функция 𝑓 интегрируема в 𝐿𝑝(R𝑑) со степенным весом |𝑥|𝑝(𝛾−𝛿), то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) принадлежит пространству 𝐿𝑞(R𝑑) с весом |𝑥|−𝑞𝛾. Случай 𝑝 = 𝑞 отвечает известному неравенству Харди—Литлвуда.
Возникает вопрос о расширении условий интегрируемости преобразования Фурье при дополнительных условиях на функции. В одномерном случае G. Hardy и J. Littlewood доказали, что если 𝑓 — четная невозрастающая стремящаяся к нулю функция и 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) для 𝑝 ∈ (1,∞), то ℱ(𝑓) принадлежит 𝐿𝑝(R) с весом |𝑥|𝑝−2. R. Boas (1972) предположил, что для монотонной функции 𝑓 принадлежность | · |𝛾−𝛿𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) эквивалентна | · |−𝛾ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝(R)
тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ (− 1𝑝′ , 1𝑝 ). Одномерная гипотеза Боаса была доказана Y. Sagher (1976).
D. Gorbachev, E. Liflyand и S. Tikhonov (2011) доказали многомерную гипотезу Боаса для радиальных функций, причем на более широком классе обобщенно монотонных неотрицательных радиальных функций 𝑓: ‖| · |−𝛾ℱ(𝑓)‖𝑝 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝 тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ ( 𝑑/𝑝 − (𝑑+1)/2 , 𝑑/𝑝 ), где 𝛿 = 𝑑( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ). Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через преобразование Бесселя полуцелого порядка, которое сводится
к классическому преобразованию Ханкеля и включает косинус- и синус-преобразования Фурье. Для последних гипотеза Боаса доказана E. Liflyand и S. Tikhonov (2008). Дляпреобразования Бесселя–Ханкеля с произвольным порядком гипотеза Боаса доказана L. De Carli, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov и S. Tikhonov (2016) обобщили данные результаты были на случай (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье. A. Debernardi (2019) изучил случай преобразования Ханкеля и обобщенно монотонных знакопеременных функций.
До сих пор гипотеза Боаса рассматривалась для функций на полуоси. В данной работе она изучается на всей оси. Для этого рассматривается интегральное преобразование Данкля, которое для четных функций сводится к преобразованию Бесселя–Ханкеля.
Также показывается, что гипотеза Боаса остается справедливой для (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье, при 𝑎 = 2 дающее преобразование Данкля. В итоге имеем 

$$‖| · |−𝛾ℱ𝜅,𝑎(𝑓)‖𝑝,𝜅,𝑎 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝,𝜅,𝑎,$$ 

где 𝛾 ∈ ( 𝑑_𝜅,𝑎/𝑝 − )𝑑_𝜅,𝑎+𝑎/2)/2 , (𝑑_𝜅,𝑎)/𝑝 ), 𝛿 = 𝑑𝜅,𝑎( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ), 𝑑𝜅,𝑎 = 2𝜅 + 𝑎 − 1.

В работе исследуется вопрос об области абсолютной сходимости дзета-ряда для некоторых моноидов натуральных чисел. Рассмотрены два основных случая: моноиды с 𝐶 степенной 𝜃-плотностью и моноиды с 𝐶-логарифмической 𝜃-степенной плотностью. Введено новое понятие — сильная ⃗𝐶 = (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) степенная ⃗𝜃-плотность. Для дзета-функции последовательности натуральных чисел 𝐴 с сильной ⃗𝐶= (𝐶1, . . . ,𝐶𝑛) степенной
⃗𝜃-плотностью доказана теорема, согласно которой дзета-функция 𝜁(𝐴|𝛼) является аналитической функцией переменной 𝛼, регулярной при 𝜎 > 0, имеющая 𝑛 полюсов первого порядка, и найдены вычеты в этих полюсах.
Для случая 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности доказан принципиально другой результат: если моноид 𝑀 имеет 𝐶 логарифмическую 𝜃-степенную плотность с 0 < 𝜃 < 1, то дзета-функция моноида 𝑀 имеет область голоморфности полуплоскость 𝜎 > 0 и мнимая ось является линией особенностей.
В третьем разделе рассмотрен вопрос об аналитическом продолжении дзета-функции моноида натуральных чисел в трёх случаях: для моноида 𝑘-ых степеней натуральных чисел, для множества натуральных чисел свободных от 𝑘-ых степеней и для объединения двух моноидов 𝑘-ых степеней натуральных чисел, когда показатели степеней взаимно простые числа.
Во всех трёх случаях показано, что аналитическое продолжение существует на всю комплексную плоскость. Найдены функциональные уравнения для каждого из трёх случаев.
Они все имеют принципиально разный вид. Кроме этого, для каждого аналитического продолжения в критической полосе найдены новые свойства дзета-функции, которые отсутствуют у дзета-функции Римана.
В заключении перечислены перспективные, актуальные темы дальнейших исследований.

Рассмотрена задача Коши для системы двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными свободными членами. Сформулированы и доказаны теоремы о локальном и нелокальном существовании и единственности решений задачи Коши. Определены достаточные условия существования и единственности локального решения задачи Коши в исходных координатах, при которых решение имеет такую же гладкость по 𝑥, как и начальные функции задачи Коши. Определены достаточные условия существования и единственности нелокального решения задачи Коши в исходных координатах (для заданного конечного промежутка 𝑡 ∈ [0, 𝑇]). Локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для
системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными свободными членами доказана с помощью метода дополнительного аргумента. Исследование нелокальной разрешимости задачи Коши основано на методе дополнительного аргумента. Доказательство нелокальной разрешимости задачи Коши для системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с непрерывными и ограниченными свободными членами опирается на глобальные оценки.

Данный обзор посвящён 𝑝-расширениям полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где 𝑝 — характеристика поля вычетов. Известно, что любое вполне разветвлённое расширение Галуа с не максимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера, при этом верхняя граница скачка ветвления соответствует нижней границе нормирования правой части уравнения. Задача построения расширений с произвольными группами Галуа не решена.

Работа посвящена установлению коэрцитивных оценок и доказательств теорем разделимости для нелинейного эллиптического дифференциального оператора недивергентного вида в весовом пространстве. На основе полученных коэрцитивных оценок исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейного эллиптического дифференциального оператора
второго порядка в пространстве 𝐿2,𝜌(𝑅𝑛). Проблемой "разделимости дифференциальных выражений "впервые занимались математики В.Н.Эверитт и М.Гирц. Они подробно изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бойматову, М. Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Существуют лишь отдельные работы, в которых рассматриваются нелинейные дифференциальные операторы, представляющие собой слабые нелинейные возмущения линейных операторов. Случай, когда исследуемый оператор нелинейный, т.е. его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные здесь результаты также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного эллиптического дифференциального оператора недивергентного вида 

$$𝐿[𝑢] = −Σ︁𝑛𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖𝑗(𝑥)𝜕^2𝑢/𝜕𝑥_𝑖𝜕𝑥_𝑗+ 𝑉 (𝑥, 𝑢)𝑢(𝑥),$$

в весовом пространстве 𝐿2,𝜌(𝑅𝑛), и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. На основе разделимости рассматриваемого эллиптического оператора недивергентного вида исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейного эллиптического дифференциального уравнения в весовом гильбертовом пространстве 𝐿2,𝜌(𝑅𝑛).

Данная работа посвящена получению оценок типа оценок Быковского для отклонения обобщённой параллелепипедальной сетки. В ней продолжены исследования аналогичные тем, что ранее мы выполнили для оценок меры качества и количественной меры параллелепипедальной сетки.
Основная идея, используемая в данной работе, восходит к работе В. А. Быковского (2002 год) об оценке погрешности приближенного интегрирования по параллелепипедальным сеткам и её обобщению в работе О. А. Горкуши и Н. М. Добровольского (2005 год) на случай гиперболической дзета-функции произвольной решётки. Центральное место в этих
работах играет множество Быковского, состоящее из локальных минимумов второго рода, и суммы по этим множествам.
Как и в работе «Об оценках Быковского для меры качества оптимальных коэффициентов» был обнаружен эффект, что в оценках отклонения появляется множитель с логарифмическим порядком роста, который стал входить в определение модифицированной суммы Быковского.
Методом работы является объединение подходов из работы «Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток» (1984 год) с подходами 2005 года.
Намечены дальнейшие пути для получения уточнения полученных оценок.

В данной работе рассматривается задача о представлении натурального числа 𝑛 диагональной квадратичной формой с четырьмя переменными 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 + 𝑑𝑡2, где 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 – заданные положительные целые числа. Ставится вопрос — определить, при каких условиях на коэффициенты 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 не существует такого представления для заданного 𝑛. Такие условия, полученные на основании теории сравнений или без доказательства, приводятся в работе Клоостермана (1926).
Клоостерман также получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения 𝑛 = 𝑎𝑥2+𝑏𝑦2+𝑐𝑧2+𝑑𝑡2. Главный член формулы является рядом +Σ︀∞𝑞=1Φ(𝑞) от мультипликативной функции Φ(𝑞), содержащей одномерные суммы Гаусса с коэффициентами 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑.
Наша работа связана с изучением представления этого особого ряда в виде произведения по простым числам Π︀𝑝|𝑞(1 + Φ(𝑝) +Φ(𝑝2) + · · · ).
Ранее авторы рассмотрели случай, когда 𝑝 ̸= 2. С использованием точных формул для одномерных сумм Гаусса, суммы Рамануджана и обобщенной суммы Рамануджана от степени простого числа доказаны условия на коэффициенты 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑛, при которых
уравнение 𝑛 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 + 𝑑𝑡2 не имеет решений.
В этой работе рассматривается случай, когда 𝑝 = 2 и 𝑛 – нечетное. С учетом формул для одномерных сумм Гаусса от степени двойки возникают некоторые суммы, родственные сумме Клоостермана, которые ранее не изучались. Для таких сумм от степени двойки
нами были получены точные значения. Это позволило привести полное доказательство условий для коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, хотя бы два из которых четные. При этих условиях нечетное натуральное число нельзя представить диагональной квадратичной формой с четырьмя переменными. Отметим, что некоторые из этих условий являются новыми и не упоминаются в работе Клоостермана.

В работе делается первая попытка осветить студенческий период биографии выдающегося советского математика, Героя Социалистического Труда академика Ивана Матвеевича Виноградова. В частности, на основании данных личного дела студента Императорского Санкт-Петербургского университета И.М. Виноградова выявлены адреса, по которым проживал будущий академик в Санкт-Петербурге в период с 1910 по 1914 гг. Заметка представляет собой незначительно изменённое содержание доклада, подготовленного авторами для Краеведческой конференции «Великолукская история в лицах», посвящённой жизни и деятельности выдающихся великолучан, Году науки и технологий и проведённой 18 ноября 2021 г. в г. Великие Луки при поддержке Комитета культуры Администрации города Великие Луки, Общественного совета по вопросам историко-культурного наследия, Великолукского городского краеведческого общества и Центральной городской библиотеки им. М.И. Семевского.
Текст доклада (с другим набором иллюстраций) был опубликован (после подачи первоначального варианта в «Чебышевский сборник») в краеведческом альманахе «Великолукский вестник»
Т.Г. Бобкина, М.А. Королёв, И.М. Виноградов в Петроградском университете: к постановке проблемы // Великолукский вестник. Краеведческий альманах. 2023, № 10, с. 163-168. и приводится здесь с любезного разрешения главного редактора «Великолукского вестника» Д.А. Белюкова.

В работе доказаны теоремы о разложении действительных чисел по последовательности Фибоначчи . Особое внимание обращено на “явные формулы” и условия единственности таких представлений. Отметим, что единственность разложения действительного числа по
обратным значениям мультипликативной системы позволяет получить оценку вида 

$$𝑒 −Σ︁𝑛𝑘=0 1/𝑘!=(𝑥_𝑛)/𝑛!,1/(𝑛 + 1)≤ 𝑥𝑛 <1/𝑛.$$

Разложения чисел по последовательности обратных чисел Фибоначчи существенно использует их представление через степени “золотого сечения” 𝜙 = (1+√5)/2 .

В статье исследуется экономическая модель роста Рамсея — Касса — Купманса. Мы исследовали монотонность функций 𝐶(𝑡) и 𝐾(𝑡) при специальном начальном условии. Наши результаты получены при помощи вспомогательной системы дифференциальных уравнений, которая аналогична исходной системе дифференциальных уравнений, возникающей в случае постоянства стационарной нормы сбережения.

В данной работе рассматривается уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций. Показано, что уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций может быть проинтегрировано методом обратной спектральной задачи. Определена эволюция спектральных данных оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом, связанного с решени-
ем уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций. Полученные результаты позволяют применить метод обратной задачи для решения уравнение КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций.

Кольцо полиадических чисел можно определять несколькими способами. Можно ввести метризуемую топологию на кольце целых чисел,считая множество идеалов (𝑚) полной системой окрестностей нуля. Полной системой окрестностей в кольце целых чисел является совокупность множеств вида 𝑎+(𝑚). Операции сложения и умножения непрерывны в этой топологии и кольцо целых чисел с этой топологией является топологическим кольцом.
Пополнение полученного топологического кольца целых чисел - это кольцо полиадических чисел. Равносильное определение - обратный (проективный) предел 

$$lim ←−𝑚Z/𝑚!Z.$$ 

Напомним, что каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид 

$$𝜆 = ∞Σ︁ 𝑛=0 𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.$$ 

Этот ряд сходится в любом поле 𝑝− адических чисел Q𝑝 . Обозначая сумму этого ряда в поле Q𝑝 символом 𝜆(𝑝), мы получаем, что любое полиадическое число 𝜆 можно рассматривать, как элемент прямого произведения колец целых 𝑝− адических чисел Z𝑝 по всем простым числам 𝑝. Верным является и обратное утверждение, означающее, что кольцо целых полиадических чисел совпадает с этим прямым произведением. Однако доказательства последнего утверждения обнаружить не удалось. Цель рассматриваемой заметки - восполнить этот пробел. Кроме того, рассказано о некоторых применениях полиадических
чисел.