Задача о нахождении функции по ее шаровым средним
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-63-80
Аннотация
Классическим свойством непостоянной 2𝑟-периодической функции на вещественной оси является отсутствие у нее периода, несоизмеримого с 𝑟. Одним из многомерных аналогов этого утверждения является следующая хорошо известная теорема Л. Зальцмана о двух радиусах: для существования ненулевой локально суммируемой функции 𝑓 : R𝑛 → C с нулевыми интегралами по всем шарам радиусов 𝑟1 и 𝑟2 в R𝑛, необходимо и достаточно, чтобы 𝑟1/𝑟2 ∈ 𝐸𝑛, где 𝐸𝑛 — множество всевозможных отношений положительных нулей функции Бесселя 𝐽𝑛/2. Условие 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛 эквивалентно равенству 𝒵+ (︀̃︀𝜒𝑟1)︀∩𝒵+(︀̃︀𝜒𝑟2)︀= ∅,
где 𝜒𝑟 — индикатор шара 𝐵𝑟 = {𝑥 ∈ R𝑛 : |𝑥| < 𝑟}, ̃︀𝜒𝑟 — сферическое преобразование (преобразование Фурье-Бесселя) индикатора 𝜒𝑟, 𝒵+(̃︀𝜒𝑟) — множество всех положительных нулей четной целой функции ̃︀𝜒𝑟. В терминах сверток теорема о двух радиусах означает,
что оператор
$$𝒫𝑓 = (𝑓 * 𝜒𝑟1 , 𝑓 * 𝜒𝑟2 ), 𝑓 ∈ 𝐿^(1,loc) (R𝑛)$$
инъективен тогда и только тогда, когда 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. В данной работе найдена новая формула обращения оператора 𝒫 при условии 𝑟1/𝑟2 /∈ 𝐸𝑛. Полученный результат существенно упрощает известные ранее процедуры восстановления функции 𝑓 по заданным шаровым средним 𝑓 *𝜒𝑟1 и 𝑓 *𝜒𝑟2 . В доказательствах используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций.
Об авторах
Наталья Петровна Волчкова
Донецкийнациональный технический университет
Украина
Украина
кандидат физико-математических наук, доцент
Виталий Владимирович Волчков
Донецкий государственный университет
Украина
Украина
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Pomp´eiu D. Sur certains syst`emes d’´equations lin´eaires et sur une propri´et´e int´egrale de fonctions de plusieurs variables // C. R. Acad. Sci. Paris. 1929. Vol. 188. P. 1138-1139.
2. Pomp´eiu D. Sur une propri´et´e int´egrale de fonctions de deux variables r´eeles // Bull. Sci. Acad. Royale Belgique (5). 1929. Vol. 15. P. 265-269, https://zbmath.org/JFM 55.0139.01.
3. Chakalov L. Sur un probl`eme de D. Pompeiu // Annuaire [Godiˇsnik] Univ. Sofia Fac. Phys.-Math., Livre 1. 1944. Vol. 40. P. 1-14.
4. Беренстейн К. А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. 1989. Т. 54. C. 5-111, https://doi.org/10.1007/978-3-642-58011-6-1.
5. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by solutions of partial differential equations. 1992. Vol. 365. P. 185-194, https://doi.org/10.1007/978-94-011-2436-2-17.
6. Zalcman L. Supplementary bibliography to “A bibliographic survey of the Pompeiu problem” // Contemp. Math. (Radon Transform and Tomography). 2001. Vol. 278. P. 69-74, https://doi.org/10.1090/conm/278.
7. Volchkov V. V. Integral Geometry and Convolution Equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003, https://doi.org/10.1007/978-94-010-0023-9.
8. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. London: Springer, 2009, https://doi.org/10.1007/978-1-84882-533-8.
9. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. Basel:Birkh¨auser, 2013, https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0572-8.
10. Delsarte J. Note sur une propri´et´e nouvelle des fonctions harmoniques // C. R. Acad. Sci. Paris S´er. A–B. 1958. Vol. 246. P. 1358–1360, https://zbmath.org/0084.09403.
11. Zalcman L. Analyticity and the Pompeiu problem // Arch. Rat. Anal. Mech. 1972. Vol. 47, N 3. P. 237–254, https://doi.org/10.1007/BF00250628.
12. Smith J. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in R𝑛 // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1972. Vol. 72, N 3. P. 403-416, https://doi.org/10.1017/S0305004100047241.
13. Zalcman L. Offbeat integral geometry // Amer. Math. Monthly. 1980. Vol. 87, N 3. P. 161-175, https://doi.org/10.1080/00029890.1980.11994985.
14. Berenstein C. A., Taylor B. A., Yger A. Sur quelques formules explicites de d´econvolution // J. Optics (Paris). 1983. Vol. 14, N 2. P.75-82, https://doi.org/10.1088/0150-536X/14/2/003.
15. Berenstein C. A., Yger A. Le probl`eme de la d´econvolution // J. Funct. Anal. 1983. Vol. 54, N 2. P. 113-160, https://doi.org/10.1016/0022-1236(83)90051-4.
16. Волчков В. В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах // Мат. сборник. 1995. Т. 186, N 6. С. 15-34, http://dx.doi.org/10.1070/SM1995v186n06ABEH000043.
17. Berenstein C. A., Yger A. Analytic Bezout identities // Adv. Appl. Math. 1989. Vol. 10, N 1. P. 51–74, https://doi.org/10.1016/0196-8858(89)90003-1.
18. Berenstein C. A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform // J. Analyse Math. 1990. Vol. 54, N 1. P. 259-287, https://doi.org/10.1007/bf02796152.
19. Helgason S. Geometric Analysis on Symmetric spaces. Rhode Island: Amer. Math. Soc. Providence, 2008, http://books.google.com/books?vid=ISBN978-1-4704-1266-1.
20. Волчков В. В., Волчков Вит. В. Уравнения свертки на многомерных областях и редуцированной группе Гейзенберга // Матем. сб. 2008. Т. 199, N 8. С. 29-60, http://dx.doi.org/10.1070/SM2008v199n08ABEH003957.
21. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Т. I. М.: Мир, 1986, https://doi.org/10.1007/978-3-642-61497-2.
22. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987, http://books.google.com/books?vid=ISBN978-1-4704-1310-1.
23. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Т. II. М.: Наука, 1974, https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:20140123-104529738.
24. Волчкова Н.П., Волчков Вит. В. Проблема деконволюции для индикаторов отрезков // Математические заметки СВФУ. 2019. Т. 26, N 3. С. 1-14, https://doi.org/10.25587/SVFU.2019.47.12.001.
25. El Harchaoui M. Inversion de la transformation de Pomp´eiu locale dans les espaces hyperboliques r´eel et complexe (Cas de deux boules) // J. Anal. Math. 1995. Vol. 67, N 1. P. 1-37, https://doi.org/10.1007/BF02787785.
26. Berkani M., El Harchaoui M., Gay R. Inversion de la transformation de Pomp´eiu locale dans l’espace hyperbolique quaternique - Cas des deux boules // J. Complex Variables. 2000. Vol. 43, N 1. P. 29-57, https://doi.org/10.1080/17476930008815300.
27. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Докл. РАН. 2001. Т. 379, N 5. С. 587–590, https://zbmath.org/1041.43005.
28. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Теоремы об обращении локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, N 5. С. 169-197, https://doi.org/10.1090/S1061-0022-04-00830-1.
29. Volchkov Vit.V. On functions with given spherical means on symmetric spaces // J. Math. Sci. 2011. Vol. 175, N 4. P. 402-412, https://doi.org/10.1007/s10958-011-0354-2.
30. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Inversion of the local Pompeiu transformation on Riemannian symmetric spaces of rank one // J. Math. Sci. Vol. 2011. 179, N 2. P. 328-343, https://doi.org/ 10.1007/s10958-011-0597-y.
31. Волчков B. B., Волчков Вит. В. Сферические средние на двухточечно-однородных пространствах и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77, N 2. С. 3-34, https://doi.org/10.1070/IM2013v077n02ABEH002634.
32. Rubin B. Reconstruction of functions on the sphere from their integrals over hyperplane sections // Anal. Math. Phys. 2019. Vol. 9, N 4. P. 1627-1664, https://doi.org/10.1007/s13324-019-00290-1.
33. Salman Y. Recovering functions defined on the unit sphere by integration on a special family of sub-spheres // Anal. Math. Phys. 2017. Vol. 7, N 2. P. 165-185, https://doi.org/10.1007/s13324-016-0135-7.
34. Hielscher R., Quellmalz M. Reconstructing an function on the sphere from its means along vertical slices // Inverse Probl. Imaging. 2016. Vol. 10, N 3. P. 711-739, https://doi.org/10.3934/ipi.2016018.
35. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008, ISBN 978-5-9221-0310-7.
36. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: URSS, 2022, ISBN 978-5-9710-9633-7.
37. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ, Т. II. М.: Юрайт-Издат, 2013, ISBN 978-5-9710-9916-2742-9.
Рецензия
Для цитирования:
Волчкова Н.П., Волчков В.В. Задача о нахождении функции по ее шаровым средним. Чебышевский сборник. 2023;24(2):63-80. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-63-80
For citation:
Volchkova N.P., Volchkov V.V. The problem of finding a function by its ball means values. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(2):63-80. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-2-63-80
Просмотров:
311
Послать статью по эл. почте 