Базисы полных систем рациональных функций с рациональными коэффициентами

Аннотация

Функциональная система представляет собой множество функций с некоторым набором операций, применяемых к этим функциям и приводящих к получению других функций из этого же множества.
Функциональные системы являются одним из основных объектов дискретной математики и математической кибернетики, поскольку они являются математическими моделями реальных и абстрактных управляющих систем.
Проблематика функциональных систем обширна. Одной из основных задач является проблема полноты, состоящая в описании таких подсистем функций, которые являются
полными, т.е. из этих функций с помощью заданных операций над ними можно получить все функции.
В статье рассматривается функциональная система рациональных функций с рациональными коэффициентами, где в качестве операций выступают операции суперпозиции и для этой системы исследуется задача о базисах полных систем, а именно:

ˆ Имеет ли каждая полная система (конечный) базис?
ˆ Существует ли для любого положительного целого числа n базис полной системы, состоящий из 𝑛 функций?
ˆ Найти конкретные базисы из n функций (𝑛 = 1, 2, 3, ...).

Ответы на все эти вопросы положительные, что и является основным результатом данной статьи.