Коэрцитивные оценки, разделимость и коэрцитивная разрешимость нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений недивергентного вида

Работа посвящена установлению коэрцитивных оценок и доказательств теорем разделимости для нелинейного эллиптического дифференциального оператора недивергентного вида в весовом пространстве. На основе полученных коэрцитивных оценок исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейного эллиптического дифференциального оператора
второго порядка в пространстве 𝐿2,𝜌(𝑅𝑛). Проблемой "разделимости дифференциальных выражений "впервые занимались математики В.Н.Эверитт и М.Гирц. Они подробно изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бойматову, М. Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Существуют лишь отдельные работы, в которых рассматриваются нелинейные дифференциальные операторы, представляющие собой слабые нелинейные возмущения линейных операторов. Случай, когда исследуемый оператор нелинейный, т.е. его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные здесь результаты также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного эллиптического дифференциального оператора недивергентного вида 

$$𝐿[𝑢] = −Σ︁𝑛𝑖,𝑗=1 𝑎𝑖𝑗(𝑥)𝜕^2𝑢/𝜕𝑥_𝑖𝜕𝑥_𝑗+ 𝑉 (𝑥, 𝑢)𝑢(𝑥),$$

в весовом пространстве 𝐿2,𝜌(𝑅𝑛), и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. На основе разделимости рассматриваемого эллиптического оператора недивергентного вида исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейного эллиптического дифференциального уравнения в весовом гильбертовом пространстве 𝐿2,𝜌(𝑅𝑛).

1. Everitt W. N.,Gierz M. Some properties of the domains of certain differential operators // Proc. London Math.Soc. 1971. Vol. 23, P. 301 – 324.

2. Everitt W. N.,Gierz M. On some properties of the powers of a family self-adjoint differential expressions // Proc. London Math.Soc. 1972. Vol. 24, P. 149 – 170.

3. Everitt W. N.,Gierz M. Some inequalities associated with certain differential operators // Math. Z. 1972. Vol. 126, P. 308 – 326.

4. Everitt W. N.,Gierz M. Inequalities and separation for Schrodinger -type operators in 𝐿2(𝑅𝑛) // Proc. Roy. Soc. Edinburg, Sect A. 1977. Vol. 79, P. 149 – 170.

5. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости // ДАН СССР. 1973. T. 213, № 5. C. 1009 – 1011.

6. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения // Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР. 1984. T. 170, C. 37 – 76.

7. Бойматов К. Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка // ДАН СССР. 1988. T. 301, № 5. C. 1033 – 1036.

8. Бойматов К. Х., Шарипов А. Коэрцитивные свойства нелинейных операторов Шредингера и Дирака // Доклады Академии наук России. 1992. T. 326, № 3. C. 393 – 398.

9. Бойматов К. Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка // Математические заметки. 1989. T. 46, № 6. C. 110 – 112.

10. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в 𝑅𝑛 // Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР. 1983. T. 161, C. 195 – 217.

11. Муратбеков М. Б., Муратбеков М. М., Оспанов К. Н. Коэрцитивная разрешимость дифференциального уравнения нечетного порядка и ее приложения // Доклады Академии наук России. 2010. T. 435, № 3. C. 310 – 313.

12. Zayed E. M. E. Separation for the biharmonic differential operator in the Hilbert space associated with existence and uniqueness theorem // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 337, P. 659 – 666.

13. Zayed E. M. E., Salem Omram Separation for triple-harmonic differential operator in the Hilbert // International J. Math. Combin. 2010. Vol. 4. P. 13 – 23.

14. Zayed E. M. E., Mohamed A. S., Atia H. A. Inequalities and separation for the Laplace-Beltrami differential operator in Hilbert spaces // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 336. P. 81 – 92.

15. Zayed E. M. E. Separation for an elliptic differential operators in a weighted its application to an existence and uniqueness theorem // Dynamits of continuous, discrede and impulsive systems.Series A: Mathematical Analysis. 2015. № 22. P. 409 – 421.

16. Mohamed A. S., H. A, Atia Separation of the general second elliptic differential operator potential in the weighted weighted Hilbert spaces // Applied Mathematics and Computation. 2005. № 162. P. 155 – 163.

17. Каримов О. Х. О разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами // Известия АН РТ. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 3(157). C. 42 –50.

18. Каримов О. Х. О разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами в весовом пространстве // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2015. Т. 58, № 8. C. 665 – 673.

19. Каримов О. Х. О коэрцитивных свойствах и разделимости бигармонического оператора с матричным потенциалом // Уфимский математический журнал. 2017. Т. 9, № 1. C. 55 – 62.

20. Каримов О. Х. О коэрцитивной разрешимости уравнения Шредингера в гильбертовом пространстве // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2018. Т. 61, № 11 – 12. C. 829 – 836.

21. Karimov O. Kh. On the separation property of nonlinear second-order differential operators with matrix coefficients in weighted spaces // Journal of mathematical sciences. 2019. Vol. 241, № 5. P. 589 – 595.