Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье—Данкля и его обобщения

Вопрос интегрируемости преобразования Фурье и других интегральных преобразований ℱ(𝑓) на классах функций в весовых пространствах 𝐿𝑝(R𝑑) является фундаментальной проблемой гармонического анализа. Классический результат Хаусдорфа—Юнга говорит, что если функция 𝑓 из 𝐿𝑝(R𝑑) при 𝑝 ∈ [1, 2], то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝′(R𝑑).
При 𝑝 > 2 преобразование Фурье в общей ситуации будет обобщенной функцией. Определить преобразование Фурье как обычную функцию при 𝑝 > 2 можно за счет рассмотрения
весовых пространств 𝐿𝑝(R𝑑). В частности, из классического неравенства Питта следует, что если 𝑝, 𝑞 ∈ (1,∞), 𝛿 = 𝑑( 1𝑞 − 1𝑝′ ), 𝛾 ∈ [(𝛿)+, 𝑑𝑞 ) и функция 𝑓 интегрируема в 𝐿𝑝(R𝑑) со степенным весом |𝑥|𝑝(𝛾−𝛿), то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) принадлежит пространству 𝐿𝑞(R𝑑) с весом |𝑥|−𝑞𝛾. Случай 𝑝 = 𝑞 отвечает известному неравенству Харди—Литлвуда.
Возникает вопрос о расширении условий интегрируемости преобразования Фурье при дополнительных условиях на функции. В одномерном случае G. Hardy и J. Littlewood доказали, что если 𝑓 — четная невозрастающая стремящаяся к нулю функция и 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) для 𝑝 ∈ (1,∞), то ℱ(𝑓) принадлежит 𝐿𝑝(R) с весом |𝑥|𝑝−2. R. Boas (1972) предположил, что для монотонной функции 𝑓 принадлежность | · |𝛾−𝛿𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) эквивалентна | · |−𝛾ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝(R)
тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ (− 1𝑝′ , 1𝑝 ). Одномерная гипотеза Боаса была доказана Y. Sagher (1976).
D. Gorbachev, E. Liflyand и S. Tikhonov (2011) доказали многомерную гипотезу Боаса для радиальных функций, причем на более широком классе обобщенно монотонных неотрицательных радиальных функций 𝑓: ‖| · |−𝛾ℱ(𝑓)‖𝑝 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝 тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ ( 𝑑/𝑝 − (𝑑+1)/2 , 𝑑/𝑝 ), где 𝛿 = 𝑑( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ). Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через преобразование Бесселя полуцелого порядка, которое сводится
к классическому преобразованию Ханкеля и включает косинус- и синус-преобразования Фурье. Для последних гипотеза Боаса доказана E. Liflyand и S. Tikhonov (2008). Дляпреобразования Бесселя–Ханкеля с произвольным порядком гипотеза Боаса доказана L. De Carli, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov и S. Tikhonov (2016) обобщили данные результаты были на случай (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье. A. Debernardi (2019) изучил случай преобразования Ханкеля и обобщенно монотонных знакопеременных функций.
До сих пор гипотеза Боаса рассматривалась для функций на полуоси. В данной работе она изучается на всей оси. Для этого рассматривается интегральное преобразование Данкля, которое для четных функций сводится к преобразованию Бесселя–Ханкеля.
Также показывается, что гипотеза Боаса остается справедливой для (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье, при 𝑎 = 2 дающее преобразование Данкля. В итоге имеем 

$$‖| · |−𝛾ℱ𝜅,𝑎(𝑓)‖𝑝,𝜅,𝑎 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝,𝜅,𝑎,$$ 

где 𝛾 ∈ ( 𝑑_𝜅,𝑎/𝑝 − )𝑑_𝜅,𝑎+𝑎/2)/2 , (𝑑_𝜅,𝑎)/𝑝 ), 𝛿 = 𝑑𝜅,𝑎( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ), 𝑑𝜅,𝑎 = 2𝜅 + 𝑎 − 1.

1. Benedetto J.J., Heinig H.P. Weighted Fourier inequalities: New proofs and generalizations // J. Fourier Anal. Appl. 2003. Vol. 9. P. 1–37.

2. Boas R.P. The integrability class of the sine transform of a monotonic function // Studia Math. 1972. Vol. 44. P. 365–369.

3. Debernardi A. The Boas problem on Hankel transforms // J. Fourier Anal. Appl. 2019. Vol. 25. P. 3310–3341.

4. De Carli L., Gorbachev D., Tikhonov S. Pitt and Boas inequalities for Fourier and Hankel transforms // J. Math. Anal. Appl. 2013. Vol. 408, no. 2. P. 762–774.

5. De Carli L., Gorbachev D., Tikhonov S. Weighted gradient inequalities and unique continuation problems // Calc. Var. Partial Dif. 2020. Vol. 59, no. 3. Article 89.

6. Dyachenko M., Liflyand E., Tikhonov S. Uniform convergence and integrability of Fourier integrals // Jour. Math. Anal. Appl. 2010. Vol. 372. P. 328–338.

7. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Pitt’s inequalities and uncertainty principle for generalized Fourier transform // Int. Math. Res. Notices. 2016. Vol. 23. P. 7179–7200.

8. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Sharp approximation theorems and Fourier inequalities in the Dunkl setting // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 258. Article 105462.

9. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform // Potential Anal. 2021. Vol. 55. P. 513–538.

10. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. On the kernel of the (𝜅, 𝑎)-generalized Fourier transform // arXiv:2210.15730. 2022.

11. Gorbachev D., Liflyand E., Tikhonov S.Weighted Fourier inequalities: Boas’ conjecture in R𝑛 // J. d’Anal. Math. 2011. Vol. 114. P. 99–120.

12. Gorbachev D., Liflyand E., Tikhonov S. Weighted norm inequalities for integral transforms // Indiana Univ. Math. J. 2018. Vol. 67, no. 5. P. 1949–2003.

13. Liflyand E., Tikhonov S. Extended solution of Boas’ conjecture on Fourier transforms // C.R. Math. Acad. Sci. Paris. 2008. Vol. 346. P. 1137–1142.

14. Liflyand E., Tikhonov S. Two-sided weighted Fourier inequalities // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5). 2012. Vol. XI. P. 341–362.

15. Sagher Y. Integrability conditions for the Fourier transform // J. Math. Anal. Appl. 1976. Vol. 54. P. 151–156.