О полиадических числах

Аннотация

Кольцо полиадических чисел можно определять несколькими способами. Можно ввести метризуемую топологию на кольце целых чисел,считая множество идеалов (𝑚) полной системой окрестностей нуля. Полной системой окрестностей в кольце целых чисел является совокупность множеств вида 𝑎+(𝑚). Операции сложения и умножения непрерывны в этой топологии и кольцо целых чисел с этой топологией является топологическим кольцом.
Пополнение полученного топологического кольца целых чисел - это кольцо полиадических чисел. Равносильное определение - обратный (проективный) предел 

$$lim ←−𝑚Z/𝑚!Z.$$ 

Напомним, что каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид 

$$𝜆 = ∞Σ︁ 𝑛=0 𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.$$ 

Этот ряд сходится в любом поле 𝑝− адических чисел Q𝑝 . Обозначая сумму этого ряда в поле Q𝑝 символом 𝜆(𝑝), мы получаем, что любое полиадическое число 𝜆 можно рассматривать, как элемент прямого произведения колец целых 𝑝− адических чисел Z𝑝 по всем простым числам 𝑝. Верным является и обратное утверждение, означающее, что кольцо целых полиадических чисел совпадает с этим прямым произведением. Однако доказательства последнего утверждения обнаружить не удалось. Цель рассматриваемой заметки - восполнить этот пробел. Кроме того, рассказано о некоторых применениях полиадических
чисел.