В данной статье рассматривается научная и педагогическая деятельность профессора, доктора физико-математических наук Владимира Николаевича Безверхнего, внесшего значительный вклад в исследования алгоритмических проблем теории групп и полугрупп.
Освещаются основные периоды жизни известного ученого.
В. Н. Безверхний продолжительное время работал в Тульском государственном педагогическом университете имени Л. Н. Толстого, руководил научным семинаром по алгоритмическим проблемам теории групп и полугрупп и аспирантурой по комбинаторной теории групп.
Продолжая дело профессора М. Д. Гриндлингера, являлся научным руководителем восьми кандидатских и научным консультантом одной докторской диссертаций.

В последние годы многие исследователи сосредоточились на изучении феномена экстремальной мультистабильности динамических систем. Экстремально мультистабильная
система содержит бесконечное число сосуществующих аттракторов, определяющихся различными начальными условиями. Последнее обстоятельство вносит чрезвычайную неопределенность в ее поведение и открывает возможность использования такой системы, например, в криптографии и организации защищенной связи в системах коммуникаций. Поэтому особый интерес представляет понимание фундаментального принципа формирования экстремальной мультистабильности. Только поняв этот принцип, мы сможем генерировать системы с нужным поведением. Экстремальная мультистабильность многих известных в настоящее время систем может быть объяснена наличием феномена усиления смещения
(offset boosting), предполагающего присутствие в системе параметра смещения. Как оказалось, отмена параметра смещения может привести к наличию в системе континуума сосуществующих аттракторов, которые непрерывно располагаются в фазовом пространстве, и простираются до бесконечности в определенном направлении. Это открытие может стать, например, объяснением возникновения и распространения торнадо и турбулентности. В
настоящей работе с использованием приема расширения размерности сконструированы две системы четвертого порядка без состояний равновесия, содержащие континуум сосуществующих скрытых хаотических аттракторов. Первая система построена на основе известной трехмерной системы Спротта, а вторая – на основе предложенной ранее авторами работы трехмерной системы, обладающей единственным скрытым хаотическим аттрактором размерности «почти 3». При этом вторая система содержит 2D решетку, представляющую собой объединение счетного числа полос, каждая из которых содержит континуум аттракторов.

Работа является новой редакцией предыдущей работы авторов на эту тему. Существенное улучшение результатов предыдущей статьи связано с использованием весовых функций для перехода от интеграла меньшей размерности к большей.
Такой переход оказался необходимым, чтобы получить новые оценки погрешности приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода методом итерации с
использованием алгебраических сеток.
Суть этого подхода заключается в том, что при приближённом вычислении решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода используется частичная сумма ряда Неймана, состоящего из интегралов разной кратности. При использовании различных алгебраических сеток, соответствующим различным чисто вещественным полям и одному параметру растяжения, оказывается, что для меньшей размерности будет использоваться
меньшее количество узлов алгебраической сетки, а поэтому и точность вычисления будет меньшей. Чтобы не решать сложную задачу оптимизации числа узлов для разных размерностей, в данной работе предложен подход, когда все интегралы сводятся к одному и для него используется единая алгебраическая сетка.
Второй положительный эффект такого подхода связан с минимизацией вычисления значений ядра уравнения Фредгольма II рода за счет применения схемы Горнера. В рабо те рассмотрены два способа выбора чисто-вещественного алгебраического поля. Первый способ основан на задании неприводимого многочлена с целыми коэффициентами, у которого все корни — вещественные числа. Второй способ основан на использовании башни
квадратичных полей.
При обоих способах выбора чисто-вещественного алгебраического поля нам удалось использовать алгебраическую сетку большой размерности для интегрирования функции меньшего числа переменных. Важную роль при этом сыграла весовая функция, которая позволяет заменить интеграл от функции из класса 𝐸𝛼𝑠 по кубу 𝐺𝑠 на интеграл от функции из класса 𝐸𝛼,0 𝑠 [−1, 1] по кубу 𝐾𝑠. При этом важно отметить, что новая функция обращается в ноль на границе этого куба.

В статье изучается ряд экстремальных задач для неотрицательных и интегрируемых на вещественной оси целых функций экспоненциального типа ⩽ 𝜎 (класс ℰ+1,𝜎).
Рассматриваемые задачи имеют следующий вид. Пусть Λ𝜌 – инвариантный относительно сдвига оператор с локально интегрируемым символом 𝜌(𝑥), 𝑥 ∈ R таким, что 𝜌(𝑥) = 𝜌(−𝑥), 𝑥 ∈ R. При фиксированном 𝜎 > 0 требуется найти следующие величины:

Данная общая задача сводится к равносильной экстремальной задаче для положительно определённых функций, решение которой известно. Как следствие, нами получены явные значения величин 𝑀*(𝜌, 𝜎) и 𝑚*(𝜌, 𝜎) для ряда различных символов 𝜌. В частности, рассмотрены случаи, когда Λ𝜌 – дифференциальный или разностный оператор специального вида.

В работе получены асимптотические формулы с остаточным членом для числа представлений пары целых чисел 𝑚 и 𝑛 соответственно суммой квадратов и линейной формой от 𝑠 ⩾ 5 переменных, причём каждое решение такой диофантовой системы удовлетворяет конгруэнциальному условию специального вида, связанному определенным образом с линейной формой. Асимптотика с остаточным членом для числа решений такой диофантовой системы выводится при 𝑁 → ∞, где 𝑁 = Δ𝑚 − 𝑛2, при этом Δ равняется сумме квадратов коэффициентов линейной формы.
Кроме того, получены двусторонние оценки снизу и сверху для особого ряда исследуемой диофантовой системы, опираясь при верхней оценке на формулы для числа решений сравнения второй степени 𝑥21 + . . . + 𝑥2 𝑠 ≡ 𝑎 (mod 𝑝𝑘), где 𝑝 — простое число, 𝑎 — целое число, 𝑘 — натуральное число.
Настоящая работа является продолжением ранее проведенного исследования, относящегося к случаю чётного числа переменных.

Данная статья посвящена описанию унаров, удовлетворяющих различным условиям, близким к плоскостности. И.А.Сахаровым было показано, что проективные унары совпадают со свободными и являются копроизведением лучей. Автором ранее были полно-
стью описаны плоские унары. Данная статья продолжает это направление исследований и даёт полное описание унаров, близких к плоским, а именно: коуниверсально плоских,
уравнительно плоских, слабо плоских, главно слабо плоских унаров, унаров без кручения, унаров, удовлетворяющих условию (Е) или (Р), точных, строго точных и регулярных унаров. Показано, что коуниверсально плоские унары совпадают с уравнительно плоскими и являются копроизведением прямых и лучей. Унары, удовлетворяющие условию (Р), плоские, слабо плоские, главно слабо плоские и унары без кручения совпадают и являются копроизведением прямых, лучей и циклов. Точные, строго точные, регулярные унары и унары, удовлетворяющие условию (Е) совпадают и являются в точности унарами, не содержащими цикл.

В 1963 году, опираясь на оценки специальных тригонометрических сумм, Хули впервые доказал асимптотическую формулу для среднего числа делителей квадратичного полинома со степенным понижением в остаточном члене по сравнению с главным. Позднее эти оценки были улучшены. В работе доказываются новые, более сильные результаты в этом направлении исследований аналитической теории чисел.

В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен случай произвольных многомерных решёток.
В данной статье рассмотрен общий случай сдвинутых многомерных решёток.
Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток гораздо сложнее, чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток, а также в нахождении формулы для длины дуг ли-
ний в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получение теоретико-числовой интерпретации этих понятий.
Дальнейшим направлением исследований может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах сдвинутых многомерных решёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток.
Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.

В работе изучаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Бергмана 𝐵2, с конечной нормой

Пусть

Доказана точная теорема между величиною наилучшего приближения 𝐸𝑛−1(𝑓)2 и усредённым с весом sin(𝜋𝑡/ℎ) (0 < ℎ ⩽ 𝜋/𝑛) значением модуля непрерывности 𝑚-го порядка 𝜔𝑚(𝑓(𝑟), 𝑡)2 функций 𝑓 ∈ 𝐵(𝑟)2 . Выясняется связь доказанной теоремы с поведением точных констант в неравенстве Джексона-Стечкина для модулей непрерывности 𝜔𝑚(𝑓(𝑟), 𝑡)2. Для класса функций 𝑊(𝑟)
𝑚 (Φ)2, определённой заданной монотонно возрастающей мажорантой Φ, удовлетворяющей некоторым ограничениям, вычислены точные значения различных 𝑛-поперечников в пространстве 𝐵2.

В работе на произвольной сетке Δ = {𝑥𝑘}∞𝑘=−∞ числовой оси сформулирована общая задача экстремальной функциональной интерполяции в среднем действительных функций, имеющих на оси почти всюду производную 𝑛-го порядка. Требуется найти наименьшее значение нормы этой производной в пространстве 𝐿∞ для функций 𝑓, интерполирующих в среднем (с интервалами усреднения длины 2ℎ) любую заданную последовательность
𝑦 = {𝑦𝑘}∞𝑘 =−∞ действительных чисел, для класса последовательностей 𝑌 , у которых все разделенные разности 𝑛-го порядка на такой сетке узлов ограничены сверху. В данной
работе задача решается в случае 𝑛 = 2. Для величины второй производной в терминах шагов ℎ𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 сетки Δ получены оценки сверху и снизу, если выполнено неравенство 2ℎ ⩽ ℎ = inf𝑘 ℎ𝑘. Работа является продолжением исследований Ю.Н. Субботина,
автора и С. И.Новикова в известной задаче Яненко—Стечкина экстремальной функциональной интерполяции, поставленной в начале 60-х годов прошлого века для равномерной сетки узлов.

В 2013 году Андрей Бондаренко сконструировал двумерное множество на единичной сфере 𝑆^64 ⊂ R^65, состоящее из 416 точек, которое нельзя разрезать на 83 части меньшего диаметра. В данной статье мы показываем, что эта конструкция работает не только в
евклидовом пространстве, но и во всех ℓ𝑝-пространствах.

Представлено расширение метода формирования нормативов для структурных элементов сложной системы, основанное на методологии байесовских интеллектуальных измерений и эконометрического моделирования на малых выборках. Реализация метода продемонстрирована на примере сельского хозяйства Тульской области.

В работе изучаются свойства гиперболической дзета-функции диагональных решёток. Доказывается теорема об аналитическом продолжении этой функции.

Рассматривается задача рассеяния плоской гармонической звуковой волны на препятствии в виде жидкого тела с неканонической формой и кусочно-гладкой поверхностью, которая аппроксимируется полигональной сеткой. Модель процесса строится на базе уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Для решения задачи сравниваются два численно-аналитических подхода, основанных на методе конечных элементов (МКЭ) и методе граничных элементов (МГЭ). В первом подходе препятствие заключается в сферу, область внутри которой с учетом поверхности препятствия разбивается на пространственные (3D) конечные элементы. В этой области задача решается МКЭ, что дает значения потенциала на сфере, которые используются для нахождения коэффициентов сферического
разложения потенциала рассеянной волны. Во втором подходе при помощи пространственной функции Грина для уравнения Гельмгольца задача сводится к системе интегральных уравнений по поверхности препятствия. Также применяется метод Бертона и Миллера для исключения неединственности решения и регуляризация сингулярных интегралов на основе тождеств для статической функции Грина. В МГЭ достаточно использовать раз-
биение поверхности на граничные (2D) элементы. Приводятся основные соотношения для применения численных методов и результаты решения задачи рассеяния звука на примере
жидкого тела, имеющего форму объединения двух шаров одинакового радиуса. Установлено, что для достижения приемлемой точности расчета рассеянного поля метод МГЭ
требует существенно меньших вычислительных затрат по сравнению с МКЭ.

Для гипоупругих сред с начальными напряжениями распространение акустических волн рассматривается с точки зрения наложения малых возмущений на конечные деформации. Начальное состояние среды характеризуется однородными полями конечных деформаций и напряжений, распространение волны описывается малыми возмущениями поля перемещений. В статье получены линеаризованная в окрестности начального состояния формулировка теоремы об изменении кинетической энергии среды и, как ее следствие, формулировка акустической теоремы Пойнтинга для гипоупругой среды. Выписано выражение для вектора Умова—Пойнтинга для гипоупругой среды через обобщенный тензор истинных напряжений.
Для плоских монохроматических волн определено изменение тензора напряжений, связанное с прохождением волны в среде с начальными напряжениями, получено выражение для вектора Умова – Пойнтинга через второй тензор Кристоффеля и начальные напряжения, действующие в среде. Получено выражение для вектора лучевой скорости, учитывающее действующие в среде начальные напряжения. Показано, что при действии начальных
напряжений вектор Умова – Пойнтинга отклоняется от вектора лучевой скорости. Этот результат не позволяет использовать вектор лучевой скорости для определения направления потоков энергии при распространении акустических волн в гипоупругих средах с начальными напряжениями.

В статье рассматривается задача о дифракции гармонической цилиндрической звуковой волны на многослойном сфероиде, состоящем из абсолютно жесткого сфероида и окружающих его однородных сфероидальных слоев идеальной сжимаемой жидкости. Полагается, что сфероид находится в безграничной идеальной жидкости. Цилиндрическая волна излучается бесконечно длинным линейным источником, параллельным оси вращения сфероида.
Задача решается в вытянутой сфероидальной системе координат. Получено аналитическое решение задачи. Рассмотрен частный случай двухслойного сфероида.

Описано проектирование математической системы управления малым летательным аппаратом самолетного типа с нестандартными аэродинамическими поверхностями. В процессе исследования был проведен анализ комплекса факторов, влияющих на динамику летательных аппаратов, представляющих собой набор дифференциальных уравнений.
Проведен поиск и подбор параметров, необходимых для создания математической модели нестандартной системы управления, способной выдавать и формировать команды
для исполнительных механизмов, отвечающих за аэродинамические поверхности, расположенные по уникальной схеме. Созданная математическая модель системы управления предполагает управление инновационными бесколлекторными электродвигателями отечественного производства с учетом их технологических особенностей. Работа математической модели была проверена в программном комплексе MATLAB с помощью дополнения SIMULIINK с учетом различных условий эксплуатации. Итогом работы стала апробация системы управления и математической модели на реальном устройстве, что позволило управлять беспилотными летательными аппаратами с нестандартными аэродинамическими схемами инновационного типа.

Описан метод анализа идеального контура летательного аппарата (ЛА), который необходим для проектирования ЛА с нестандартными аэродинамическими поверхностями.
Аэродинамические поверхности ЛА считаются каналом управления, на который формирует воздействие блок выдачи команд. Для создания идеального контура управления был проведен расчет частотных, фазовых характеристик. Работа математической модели была проверена в программном комплексе MATLAB с помощью дополнения SIMULINK с учетом различных условий эксплуатации.
В процессе работы была оптимизирована переходная характеристика процесса отработки управляющего воздействия системы с помощью разработанной математической модели летательного аппарата в среде MATLAB SIMULINK.
Итогом работы стала апробация идеального контура управления на реальном устройстве при сохранении запаса устойчивости и стабильности полета с различными задержками вычислительного модуля.

Предложена оригинальная методика расчёта in situ характеристик неоднородности анизотропных материалов на базе технологии машинного зрения (фотограмметрии). Объектами являлись образцы порошковых сплавов 316L и Inconel 718, изготовленные по технологии селективного лазерного сплавления (SLM) и подвергнутые равномерному одноосному растяжению.
Методика базируется на совместном использовании в расчёте параметров кривых
упрочнения, построенных по результатам определения in situ интенсивностей истинных
напряжений и деформаций в отдельных микрообъёмах образцов. В качестве таких микрообъёмов использовали поперечные сечения делительной сетки, нанесенной на поверхность
образцов. Информацию о геометрии ячеек делительной сетки, изменявшуюся в процессе
растяжения, получали в измерительном блоке из результатов фотограмметрии — измерений цифровых изображений делительной сетки, полученных в ходе фотофиксации образца
при растяжении.
В расчётном блоке с помощью методики получены уравнения зависимостей показателя неоднородности материала по механическим свойствам и характеристики неравномерности его пластической деформации от интенсивностей действующих напряжений и деформаций.
Применение математических алгоритмов оптимизации фотограмметрии и программирование блока расчётов на языке высокого уровня Python позволит автоматизировать
процесс расчёта полученных уравнений с входящими в них параметрами и в итоге создавать базы данных характеристик анизотропии и неоднородности свойств изделий, изготовленных методом SLM. Это обеспечит разработку теоретических основ для углублённого анализа и обоснованного прогнозирования влияния технологической анизотропии и неоднородности свойств изделий SLM на их работоспособность in situ.

В данной статье рассматривается научная и педагогическая деятельность профессора, доктора физико-математических наук Урусби Мухамедовича Пачева, внесшего значительный вклад в исследования по аналитической теории чисел и геометрии чисел. Освещаются основные периоды жизни известного ученого.
У. М. Пачев продолжительное время работает в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х. М. Бербекова, руководит научным семинаром по теории чисел.
Продолжая дело профессора А. В. Малышева, являлся научным руководителем четырёх аспирантов по кандидатским диссертациям.