Гладкое многообразие сдвинутых решёток
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-99-115
Аннотация
В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен случай произвольных многомерных решёток.
В данной статье рассмотрен общий случай сдвинутых многомерных решёток.
Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток гораздо сложнее, чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток, а также в нахождении формулы для длины дуг ли-
ний в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получение теоретико-числовой интерпретации этих понятий.
Дальнейшим направлением исследований может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах сдвинутых многомерных решёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток.
Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.
При поддержке: Работа выполнена по гранту РНФ № 23-21-00317 «Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе»
Об авторах
Елена Николаевна Смирнова
Оренбургский государственный университет
Россия
Россия
Ольга Александровна Пихтилькова
Российский технологический университет МИРЭА
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Ирина Юрьевна Реброва
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Николай Михайлович Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. 1975. — 240 с.
2. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.
3. Н. М. Добровольский Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6089–84.
4. Н. М. Добровольский О квадратурных формулах на классах 𝐸𝛼 𝑠 (𝑐) и 𝐻𝛼 𝑠 (𝑐). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.
5. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.
6. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения к приближенному анализу // Сб. IV Международная конференция „Современные проблемы теории чисел и ее приложения“ посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова. Тула, 10—15 сентября, 2001 Актуальные проблемы Ч. I. М. МГУ, 2002. С. 54—80.
7. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.
8. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова. О гиперболической дзета-функции Гурвица, Чебышевский сб., 2016, том 17, вып. 3, С. 72—105.
9. Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. — Тула, 2001. С. 82–86.
10. Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. C. 522–526.
11. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб.тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. C. 53.
12. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд–во ТулГУ, 1996. С. 77 — 87.
13. Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. C. 363–369.
14. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. — М.: Мир, 1965. — 420 с.
15. А. Н. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками — II // Чебышевcкий сборник, 2019, т. 21, вып. 3, с. 215–222.
16. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
17. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.
18. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета–функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99–108.
19. Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. Алгебраические решётки в метрическом пространстве решёток // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 326–338.
20. Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Гладкое многообразие одномерных решёток // Чебышевcкий сборник. 2020. Т. 21, вып. 3, С. 165–185.
21. Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов, Н. М. Добровольский. Гладкое многообразие одномерных сдвинутых решёток // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22, вып. 3, С. 196–231.
22. Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов, Н. М. Добровольский. Гладкое многообразие решёток // Чебышевcкий сборник. 2023. Т. 24, вып. 4, С. 299–301.
23. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и группы Ли. — М.: Мир, 1987. — 304 с.
24. Т. С. Шмелева. Непрерывность гиперболического параметра решеток // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 92–99.
25. L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol’skii, N. N. Dobrovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.
Рецензия
Для цитирования:
Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М. Гладкое многообразие сдвинутых решёток. Чебышевский сборник. 2025;26(1):99-115. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-99-115
For citation:
Smirnova E.N., Pikhtilkova O.A., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Yu., Dobrovol’skii N.M. Smooth variety of lattices. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(1):99-115. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-99-115
Просмотров:
57
Послать статью по эл. почте 