Рассеяние плоской звуковой волны жидким телом сложной формы

Рассматривается задача рассеяния плоской гармонической звуковой волны на препятствии в виде жидкого тела с неканонической формой и кусочно-гладкой поверхностью, которая аппроксимируется полигональной сеткой. Модель процесса строится на базе уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Для решения задачи сравниваются два численно-аналитических подхода, основанных на методе конечных элементов (МКЭ) и методе граничных элементов (МГЭ). В первом подходе препятствие заключается в сферу, область внутри которой с учетом поверхности препятствия разбивается на пространственные (3D) конечные элементы. В этой области задача решается МКЭ, что дает значения потенциала на сфере, которые используются для нахождения коэффициентов сферического
разложения потенциала рассеянной волны. Во втором подходе при помощи пространственной функции Грина для уравнения Гельмгольца задача сводится к системе интегральных уравнений по поверхности препятствия. Также применяется метод Бертона и Миллера для исключения неединственности решения и регуляризация сингулярных интегралов на основе тождеств для статической функции Грина. В МГЭ достаточно использовать раз-
биение поверхности на граничные (2D) элементы. Приводятся основные соотношения для применения численных методов и результаты решения задачи рассеяния звука на примере
жидкого тела, имеющего форму объединения двух шаров одинакового радиуса. Установлено, что для достижения приемлемой точности расчета рассеянного поля метод МГЭ
требует существенно меньших вычислительных затрат по сравнению с МКЭ.

1. Frisk G.V., DeSanto J.A. Scattering by spherically symmetric inhomogeneities // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. Vol. 47, № 1B. P. 172–180.

2. ¨Uberall H., George J., Farhan A.R., Mezzorani G., Nagl A., Sage K.A., Murphy J.D. Dynamics of acoustic resonance scattering from spherical targets: Application to gas bubbles in fluids // J. Acoust. Soc. Amer. 1979. Vol. 66. P. 1161–1172.

3. Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акуст. журн. 2003. Том. 49. № 5. С. 590–603.

4. Martin P.A. Acoustic scattering by inhomogeneous obstacles // SIAM J. Appl. Math. 2003. Vol. 64, № 1. P. 297–308.

5. Буров В.А., Попов А.Ю., Сергеев С.Н., Шуруп А.С. Акустическая томография океана при использовании нестандартного представления рефракционных неоднородностей // Акуст. журн. 2005. Том. 51. № 5. С. 602–613.

6. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акуст. журн. 2005. Том. 51. № 4. С. 437–446.

7. Hasheminejad S.M., Sanaei R. Ultrasonic scattering by a fluid cylinder of elliptic cross section, including viscous effects // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 2008. Vol. 55, № 2. P. 391–404.

8. Буров В.А., Шмелев А.А. Численное и физическое моделирование процесса томографии на основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка // Акуст. журн. 2009. Том. 55. № 4–5. С. 466–480.

9. Duck F.A., Baker A.C., Starritt H.C. (ed.) Ultrasound in medicine. Boca Raton: CRC Press, 2020.

10. Li P., Zhai J., Zhao Y. Stability for the acoustic inverse source problem in inhomogeneous media // SIAM J. Appl. Math. 2020. Vol. 80, № 6. P. 2547–2559.

11. Skudrzyk E. The foundations of acoustics basic mathematics and basic acoustics. New York, Wien: Springer-Verlag, 1971.

12. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.

13. Anderson V.C. Sound scattering from a fluid sphere // J. Acoust. Soc. Amer. 1950. Vol. 22, № 4. P. 426–431.

14. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 132–145.

15. Скобельцын С.А. Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах // Дисс. . . . докт. физ.-мат. наук. Тула, ТулГУ, 2020.

16. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer, 2013.

17. Burton A.J., Miller G.F. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems // Proc. R. Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci. 1971. Vol. 323, № 1553. P. 201–210.

18. Бреббия К. Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов / Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

19. Chen K., Cheng J., Harris P.J. A new study of the Burton and Miller method for the solution of a 3D Helmholtz problem // IMA J. Appl. Math. 2009. Vol. 74, № 2. P. 163–177.

20. Chen G., Zhou J. Boundary element methods with applications to nonlinear problems / 2nd ed. Springer: Dordrecht, 2010.

21. Simpson R.N., Scott M.A., Taus M., Thomas D.C., Lian H. Acoustic isogeometric boundary element analysis // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2014. Vol. 269. P. 265–290.

22. Amini S. On the choice of the coupling parameter in boundary integral formulations of the exterior acoustic problem // Appl. Anal. 1990. Vol. 35. P. 75–92.

23. Liu Y.J., Rudolphi T.J. Some identities for fundamental-solutions and their applications to weakly-singular boundary element formulations // Eng. Anal. Bound. Elem. 1991. Vol. 8, № 6. P. 301–311.

24. Wilton D.R., Rao S.M., Glisson A.W., Schaubert D.H., Al-Bundak O.M., Butler C.M. Potential integrals for uniform and linear source distnbutions on polygonal and polyhedral domains // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. Vol. 32, no. 3. P. 276–281.

25. Lin T.C. A proof for the Burton and Miller integral equation approach for the Helmholtz equation // J. Math. Anal. Appl. 1984. Vol. 103, № 2. P. 565–574.

26. Jackson J.D. Classical electrodynamics / 3rd ed. N.Y.: Wiley City, 1999.

27. Meyer M., Desbrun M., Schr¨oder P., Barr A.H. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds // In: H.-C. Hege, K. Polthier (eds) Visualization and Mathematics III. Mathematics and Visualization. Berlin–Heidelberg: Springer, 2003.

28. Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца // ЖВМ и МФ. 2016. Том. 56. № 7. С. 1340–1348.

29. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.