Алгебраические сетки и их приложение к численному решению линейных интегральных уравнений — II

Работа является новой редакцией предыдущей работы авторов на эту тему. Существенное улучшение результатов предыдущей статьи связано с использованием весовых функций для перехода от интеграла меньшей размерности к большей.
Такой переход оказался необходимым, чтобы получить новые оценки погрешности приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода методом итерации с
использованием алгебраических сеток.
Суть этого подхода заключается в том, что при приближённом вычислении решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода используется частичная сумма ряда Неймана, состоящего из интегралов разной кратности. При использовании различных алгебраических сеток, соответствующим различным чисто вещественным полям и одному параметру растяжения, оказывается, что для меньшей размерности будет использоваться
меньшее количество узлов алгебраической сетки, а поэтому и точность вычисления будет меньшей. Чтобы не решать сложную задачу оптимизации числа узлов для разных размерностей, в данной работе предложен подход, когда все интегралы сводятся к одному и для него используется единая алгебраическая сетка.
Второй положительный эффект такого подхода связан с минимизацией вычисления значений ядра уравнения Фредгольма II рода за счет применения схемы Горнера. В рабо те рассмотрены два способа выбора чисто-вещественного алгебраического поля. Первый способ основан на задании неприводимого многочлена с целыми коэффициентами, у которого все корни — вещественные числа. Второй способ основан на использовании башни
квадратичных полей.
При обоих способах выбора чисто-вещественного алгебраического поля нам удалось использовать алгебраическую сетку большой размерности для интегрирования функции меньшего числа переменных. Важную роль при этом сыграла весовая функция, которая позволяет заменить интеграл от функции из класса 𝐸𝛼𝑠 по кубу 𝐺𝑠 на интеграл от функции из класса 𝐸𝛼,0 𝑠 [−1, 1] по кубу 𝐾𝑠. При этом важно отметить, что новая функция обращается в ноль на границе этого куба.

1. А. С. Герцог, Е. Д. Ребров, Е. В. Триколич, “О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул”, Чебышевский сб., 10:2 (2009), 10–54.

2. Н. М. Добровольский, А. С. Подолян. Алгебраические сетки и их приложение к численному решению линейных интегральных уравнений // Чебышевcкий сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 162–169.

3. Коробов Н. М. О приближенном решении интегральных уравнений // ДАН СССР. 1959. Т. 128, N 2. С. 235–238.

4. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

5. Е. М. Рарова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Тригонометрические суммы сеток алгебраических решеток с бесконечно дифференцируемыми весами // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22, вып. 3, С. 166–178.

6. Ребров Е. Д., Селиванов С. В. О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма II рода // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 83 - 92.

7. Садовничий В.А., Григорьян А. А., Конягин С. В. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1987. 310 с.

8. Лямин М. И. Алгебраические сетки и их приложение к численному решению линейных интегральных уравнений // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XIII Международной конференции, посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова, Тула, 25–30 мая 2015 года / Тульский государственный педагогичекий университет им. Л. Н. Толстого. – Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, 2015. – С. 351-354.