О связи между второй разделенной разностью и второй производной в задаче экстремальной интерполяции в среднем
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-131-141
Аннотация
В работе на произвольной сетке Δ = {𝑥𝑘}∞𝑘=−∞ числовой оси сформулирована общая задача экстремальной функциональной интерполяции в среднем действительных функций, имеющих на оси почти всюду производную 𝑛-го порядка. Требуется найти наименьшее значение нормы этой производной в пространстве 𝐿∞ для функций 𝑓, интерполирующих в среднем (с интервалами усреднения длины 2ℎ) любую заданную последовательность
𝑦 = {𝑦𝑘}∞𝑘 =−∞ действительных чисел, для класса последовательностей 𝑌 , у которых все разделенные разности 𝑛-го порядка на такой сетке узлов ограничены сверху. В данной
работе задача решается в случае 𝑛 = 2. Для величины второй производной в терминах шагов ℎ𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 сетки Δ получены оценки сверху и снизу, если выполнено неравенство 2ℎ ⩽ ℎ = inf𝑘 ℎ𝑘. Работа является продолжением исследований Ю.Н. Субботина,
автора и С. И.Новикова в известной задаче Яненко—Стечкина экстремальной функциональной интерполяции, поставленной в начале 60-х годов прошлого века для равномерной сетки узлов.
Ключевые слова
При поддержке: Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финан- совой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения 075- 02-2023-913).
Об авторе
Валерий Трифонович Шевалдин
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Труды МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 24–42.
2. Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей 𝑛-й производной // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 30–60.
3. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Труды МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 118–173.
4. Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением 𝑛-й производной при больших интервалах усреднения // Матем. заметки. 1996. Т. 59, № 1. С. 114–132. doi: 10.4213/mzm1699 .
5. Субботин Ю.Н. Экстремальная в 𝐿𝑝 интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения // Известия РАН. Серия математическая. 1997. Т. 61, № 1. С. 177–198. doi: 10.4213/im110 .
6. Субботин Ю.Н., Новиков С. И., Шевалдин В.Т. Экстремальная функциональная интерполяция и сплайны // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 3. С. 200–225. doi: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-200-225 .
7. Favard J. Sur interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19, no. 9. P. 281–306.
8. de Boor C. How small can one make the derivatives of an interpolating function? // J. Approx. Theory, 1975. Vol. 13, no. 2. P. 105–116.
9. de Boor C. A smooth and local interpolant with small 𝑘-th derivative. Numerical solutions of boundary value problems for ordinary differential equations. N.-Y: Acad. Press. 1975. P. 177–197.
10. Kunkle Th. Favard’s interpolation problem in one or more variables // Constructive Approxim. 2002. Vol. 18, no. 4. P. 467–478. doi: 10.1007/s00365-001-0015-7 .
11. Новиков С. И., Шевалдин В.Т. О связи между второй разделенной разностью и второй производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 216–224. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-216-224 .
12. Новиков С. И., Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция на полуоси с наименьшим значением нормы третьей производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 210–223. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-210-223 .
13. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы второй производной в пространстве 𝐿𝑝(R) // Известия РАН. Серия математическая. 2022. Т. 86, № 1. С. 219–236. doi: https://doi.org/10.4213/im9125 .
14. Волков Ю.С. Замечание о связи между второй разделенной разностью и второй производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 19–21. doi:10.21538/0134-4889-2021-27-1-19-21 .
15. Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 203–240.
16. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и ℒ-сплайны // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, № 4. С. 201–224. doi: 10.4213/im193 .
17. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 1. С. 219–232. doi: 10.21538/0134-4889-2023-29-1-219-232 .
Рецензия
Для цитирования:
Шевалдин В.Т. О связи между второй разделенной разностью и второй производной в задаче экстремальной интерполяции в среднем. Чебышевский сборник. 2025;26(1):131-141. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-131-141
For citation:
Shevaldin V.T. On the relationship between the second divided difference and the second derivative in the problem of extremal interpolation in the mean. Chebyshevskii Sbornik. 2025;26(1):131-141. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2025-26-1-131-141
Просмотров:
59
Послать статью по эл. почте 