доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
В работе на произвольной сетке Δ = {𝑥𝑘}∞𝑘=−∞ числовой оси сформулирована общая задача экстремальной функциональной интерполяции в среднем действительных функций, имеющих на оси почти всюду производную 𝑛-го порядка. Требуется найти наименьшее значение нормы этой производной в пространстве 𝐿∞ для функций 𝑓, интерполирующих в среднем (с интервалами усреднения длины 2ℎ) любую заданную последовательность𝑦 = {𝑦𝑘}∞𝑘 =−∞ действительных чисел, для класса последовательностей 𝑌 , у которых все разделенные разности 𝑛-го порядка на такой сетке узлов ограничены сверху. В даннойработе задача решается в случае 𝑛 = 2. Для величины второй производной в терминах шагов ℎ𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 сетки Δ получены оценки сверху и снизу, если выполнено неравенство 2ℎ ⩽ ℎ = inf𝑘 ℎ𝑘. Работа является продолжением исследований Ю.Н. Субботина,автора и С. И.Новикова в известной задаче Яненко—Стечкина экстремальной функциональной интерполяции, поставленной в начале 60-х годов прошлого века для равномерной сетки узлов.
In the paper, the general problem of extremal functional interpolation in the mean for real functions that have derivative of order 𝑛 almost everywhere is formulated on an arbitrary partition Δ = {𝑥𝑘}∞𝑘=−∞ of the real axis. It is required to find the smallest value of the 𝐿∞-norm of the 𝑛-derivative among functions that interpolate in the mean (with averaging intervals of length 2ℎ) any sequence of real numbers 𝑦 = {𝑦𝑘}∞𝑘 =−∞ from a class 𝑌 of sequences whose divided differences of order 𝑛 are bounded from above on such a grid. In this paper, the problem is considered in the case of 𝑛 = 2. We give the above and below estimates for the 𝐿∞-norm of the second derivative in terms of grid steps ℎ𝑘 = 𝑥𝑘+1−𝑥𝑘 provided that 2ℎ ⩽ ℎ = inf𝑘 ℎ𝑘. Theobtained results are developments is research of Yu. N. Subbotin, the author and S. I. Novikov in the well-known Yanenko—Stechkin problem of extremal functional interpolation. This problem was put in the early 60-s years of the last century for the case of the uniform grid.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.