Дается обзор основных результатов, полученных в Ярославском отделении алгебраической школы Мартина Давидовича Гриндлингера за период с середины 70-х годов прошлого века по настоящее время.

 

Изложение истории развития исследований по комбинаторной теории групп в Ивановском государственном университете и обзор результатов, полученных с 60-х годов прошлого столетия по настоящее время. Представляемые результаты относятся, главным образом, к изучению свойства финитной аппроксимируемости групп и его различных обобщений приме- нительно к свободным конструкциям групп и к группам, определяемым одним соотношением.

 

Работа посвящена получению оценок в теореме Ширшова о высоте. Слово W называется n-разбиваемым, если его можно представить в виде W = W0W1 · · · Wn где подслова W1, . . . , Wn идут в порядке лексикогра- фического убывания. Из не n-разбиваемых слов состоит базис алгебры с тождеством степени n. А. И. Ширшов показал, что множество слов, не яв- ляющихся n-разбиваемыми, над алфавитом из l букв имеет ограниченную высоту h над Y – множеством слов степени не выше n−1. Мы показываем, что h < Φ(n, l), где Φ(n, l) = 296l · n 12 log3 n+36 log3 log3 n+91 . Пусть l, n и d > n – некоторые натуральные числа. Тогда все слова над l-буквенном алфавитом длины больше, чем Ψ(n, d, l), либо содержат x d , либо являются n-разбиваемыми, где Ψ(n, d, l) = 227l(nd) 3 log3 (nd)+9 log3 log3 (nd)+36 . В 1993 году Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в Днестров- ской тетради: “Пусть F2,m – свободное 2-порожденное ассоциативное кольцо с тож- деством x m = 0. Верно ли, что класс нильпотентности кольца F2,m растет экспоненциально по m?” В работе показано, что в l-порожд¨енной ассоциативной алгебре с тождеством x d = 0 класс нильпотентности меньше, чем Ψ(d, d, l). Тем самым получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентно- сти ниль-алгебр для произвольной характеристики. Изначальная оценка высоты у Ширшова носила рекурсивный характер, в 1982 году была получена двойная экспонента, в 1992 году – экспо- ненциальная оценка. Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с приме- нением теоремы Дилуорса к исследованию не n-разбиваемых слов. Нам представляется, что теорема о высоте имеет глубокую связь с задачами современной комбинаторики, в частности, Рамсеевского типа. С помощью такого рода соображений получаются верхние и нижние оценки количества периодов длины 2, 3,(n−1) в не n-разбиваемом слове, отличающиеся только постоянным множителем.

 

С помощью метода М. П. Минеева основных и вспомогательных систем доказана теорема о количестве решений диофантова неоднородного уравнения с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел. Исследован вопрос о количестве основных систем и для него получено полиномиальное выражение с использованием чисел Бернулли. Получены оценки для числа вспомогательных систем.

 

В статье доказана теорема универсальности для периодической дзета функции, которая опредеяется рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющими некоторому условию зависимости. Это упрощает задачу и разрешает осветить универсапьность периодической дзета функции.

 

Авторы статьи ставили перед собой две основные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Константина Алексеевича Рыбникова и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имевшей значительное влияние на развитие научных школ в области истории и методологии математики, а также комбинаторного анализа, где он явился одним из первых отечественных специалистов и организаторов международных научных семинаров по этому направлению. Среди его учеников 23 защитили кандидатские диссертации, причём двое из них впоследствии стали докторами физико-математических наук. Особо отмечаются исследования профессора К. А. Рыбникова по архивному поиску и анализу математических рукописей Карла Маркса, которые вызвали большой интерес в широких кругах математиков, историков и философов. Биографические данные в статье сопровождаются выдержками из личных воспоминаний профессора К. А. Рыбникова.

Автор делится своими весьма субъективными воспоминаниями о некоторых преподавателях, работавших во второй половине 60-ых годов прошлого века на математическом факультете Тульского государственного педагогического института имени Л. Н. Толстого. Основная часть заметки – это воспоминания-размышления о формировании в Туле в 60-ые годы прошлого века на базе Тульского государственного педагогического института имени Л.Н. Толстого алгебраической школы профессора Мартина Давидовича Гриндлингера и о том, какую роль в этом процессе сыграл созданный им общегородской алгебраический семинар.