О ПРИБЛИЖЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В работе рассматриваются некоторые гипергеометрические функции при специальном соотношении между их параметрами. Получены оценки снизу модулей линейных форм от значений таких функций. Обычно для получения подобных оценок используют метод Зигеля, см. [1], [2], [3, гл. 3]. При применении этого метода рассуждения начинаются с построения при помощи принципа Дирихле линейной приближающей формы, имеющей достаточно большой порядок нуля в начале координат. Используя систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют рассматриваемые функции, строят затем совокупность таких форм, причем определитель, составленный из их коэффициентов, не должен быть тождественным нулем. Дальнейшие шаги состоят в переходе к числовым линейным формам и к доказательству интересующих исследователя утверждений: доказывается линейная независимость значений рассматриваемых функций или устанавливаются соответствующие количественные результаты. С помощью метода Зигеля доказаны достаточно общие теоремы, касающиеся арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций, причем кроме упомянутой выше линейной независимости во многих случаях установлена также трансцендентность и алгебраическая независимость значений таких функций. Однако использование принципа Дирихле на начальном этапе ограничивает возможности метода. Его непосредственное применение возможно лишь для гипергеометрических функций с рациональными параметрами. Следует отметить также недостаточную точность получаемых этим методом количественных результатов. В связи с вышесказанным был разработан некоторый аналог метода Зигеля (см. [4]), с помощью которого в ряде случаев удалось исследовать арифметическую природу значений гипергеометрических функций также и с иррациональными параметрами. Еще раньше, однако, стали применяться методы, основанные на эффективном построении линейной приближающей формы. С помощью таких построений была исследована арифметическая природа классических констант и были получены соответствующие количественные результаты, см., например, [5, гл. 1]. В дальнейшем выяснилось, что эффективные методы применимы и при исследовании обобщенных гипергеометрических функций. Были получены, в частности, явные формулы для коэффициентов линейных приближающих форм. В ряде случаев эти формулы позволяют реализовать схему метода Зигеля и для гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Если в приведенной ниже формуле (1) многочлен a(x) тождественно равен единице, то полученные эффективным методом результаты носят довольно общий характер, и здесь дальнейшее развитие этого метода наталкивается на трудности принципиального характера. Если же a(x) ̸≡ 1, то возможности эффективного метода еще не исчерпаны: результаты, полученные на сегодняшний день, могут быть обобщены и улучшены. В теоремах, доказанных в настоящей работе, устанавливаются новые качественные и количественные результаты для некоторых гипергеометрических функций, у которых a(x) = x + α, и многочлен b(x) из (1) имеет специальный вид. Рассматривается случай иррациональных параметров, однако используемые соображения позволят, по-видимому, получить новые результаты для таких функций и в случае рациональных параметров.

1. Siegel C. L. ¨Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929–1930. №1. S. 1–70.

2. Siegel C. L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949

3. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

4. Галочкин А. И. О некотором аналоге метода Зигеля // Вестник Московского университета. Математика, механика. 1986, №2. С. 30–34.

5. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Издательство Московского университета, 1982. 312 с.

6. Иванков П. Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера // Математические заметки. 1991. Т. 49, выпуск 2. С. 55–63.

7. Белогривов И. И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений функций Куммера // Сибирский математический журнал. 1979. Т. 12, №5. С. 961–982.

8. Иванков П. Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995 Т. 1, выпуск 1. С. 191–206.

9. Иванков П. Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Математический сборник. Т. 182, №2. 1991. С. 283–302.

10. Галочкин А. И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. 1976. Т. XVII, №6. С. 1220–35.

11. Галочкин А. И. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, №6. С. 27–32.

12. Иванков П. Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, №6. С. 65–72.

13. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8, №1. С. 19–28.

14. Галочкин А. И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1978, №6. С. 25–32.

15. Иванков П. Л. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм // Известия вузов. Математика. 2000, №1(452). С. 31–36.