О КОЛЬЦЕВЫХ СТРУКТУРАХ НА МНОЖЕСТВЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Аннотация

Хорошо известно, что кольцо целых чисел Z является E-кольцом, следовательно, на аддитивной группе Z можно задать единственную (с точностью до изоморфизма) структуру кольца с единицей. Возникает естественный вопрос о единственности структуры кольца с единицей на мультипликативном моноиде Z. В работе показано, что данный вопрос решается отрицательно. Более того, построен и описан метод, позволяющий получать различные кольцевые структуры на мультипликативном моноиде Z с помощью мультипликативных автоморфизмов. Для мультипликативного моноида Z введено понятие базиса и доказано, что с точностью до знака не существует базисов, отличных от базиса, состоящего из всех простых чисел, и базисов, получающихся из него путём перестановки элементов. В конце работы приводится пример задания нового кольца на множестве Z при фиксированном стандартном умножении. Новое сложение на мультипликативном моноиде Z получается с помощью перестановки простых чисел (в подробно разобранном примере — это перестановка 2↦→3↦→5↦→2). Из полученных в статье результатов, в частности, следует, что кольцо Z не является кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом).