chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2017-18-2-6-17cheb-321Research ArticleСтатьиArticleО КОЛЬЦЕВЫХ СТРУКТУРАХ НА МНОЖЕСТВЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛABOUT RING STRUCTURES ON THE SET OF INTEGERSАртемовД. Ю.ArtemovD. Yu.

студент математического факультета,

 

Student of the Mathematical Department

dyu.artemov@mail.ruФГБОУ ВО «Московский педагогический государственный университет»РоссияMoscow Pedagogical State UniversityRussian Federation201723122017182617Copyright © Артемов Д.Ю., 20172017Артемов Д.Ю.Artemov D.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/321

Хорошо известно, что кольцо целых чисел Z является E-кольцом, следовательно, на аддитивной группе Z можно задать единственную (с точностью до изоморфизма) структуру кольца с единицей. Возникает естественный вопрос о единственности структуры кольца с единицей на мультипликативном моноиде Z. В работе показано, что данный вопрос решается отрицательно. Более того, построен и описан метод, позволяющий получать различные кольцевые структуры на мультипликативном моноиде Z с помощью мультипликативных автоморфизмов. Для мультипликативного моноида Z введено понятие базиса и доказано, что с точностью до знака не существует базисов, отличных от базиса, состоящего из всех простых чисел, и базисов, получающихся из него путём перестановки элементов. В конце работы приводится пример задания нового кольца на множестве Z при фиксированном стандартном умножении. Новое сложение на мультипликативном моноиде Z получается с помощью перестановки простых чисел (в подробно разобранном примере — это перестановка 2↦→3↦→5↦→2). Из полученных в статье результатов, в частности, следует, что кольцо Z не является кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом).

It is well known that the ring of integers Z is an ????-ring, therefore it is possible to define unique (up to isomorphism) structure of a ring with identity on the additive group Z. A natural question arises about the uniqueness of the ring structure with identity constructed on a multiplicative monoid Z. It is shown in this paper that this question is solved negatively. Moreover, a method of construction new various ring structures on the multiplicative monoid Z by dint of multiplicative automorphisms was developed and described. The concept of basis was introduced for the multiplicative monoid Z, and it was shown that there are no bases (up to sign) that are differ to a basis consists of all prime numbers, and bases that are obtain of that basis by a permutations of its elements. The example of construction a new ring structure on the set Z for fixed standart multiplication is given in the end of this paper. The new addition on the multiplicative monoid Z is obtained by a permutation of prime numbers (it is 2 ↦→ 3 ↦→ 5 ↦→ 2 permutation in the detailed example). From the results obtained in the paper it follows in particular, that the ring Z is not an unique addition ring (UA-ring).

кольцо целых чиселE-кольцоаддитивная группакольцо с однозначным сложениеммультипликативная полугруппа кольцамоноидring of integers????-ringadditive groupunique addition ringmultiplicative semigroup of a ringmonoidReferencesFuchs L. Infinite Abelian Groups. Vol. 1. New York–London: Academic Press, 1970.Fuchs, L. 1970, "Infinite Abelian Groups vol. 1, New York–London: Academic Press.Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Vol. 2. New York–London: Academic Press, 1973.Fuchs, L. 1973, "Infinite Abelian Groups vol. 2, New York–London: Academic Press.Курош А.Г. Общая алгебра. М.: Наука, 1974.Kurosh, A. G. 1974, "General Algebra Moscow, Nauka (russian).Schultz P. Periodic homomorphism sequences of abelian groups // Arch. Math. 1970. Vol. 21. P. 132-135.Schultz, P. 1970, "Periodic homomorphism sequences of abelian groups Arch. Math., vol. 21, pp. 132-135.Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring // J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 15. P. 60-69.Schultz, P. 1973, "The endomorphism ring of the additive group of a ring"J. Austral. Math. Soc., vol. 15. pp. 60-69.Bowshell R. A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 1977. Vol. 228, №3. P. 197-214.Bowshell, R. A. & Schultz, P. 1977, "Unital rings whose additive endomorphisms commute Math. Ann., vol. 228, no. 3, pp. 197-214Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006.Krylov, P. A., Mikhalev, A. V. & Tuganbaev, A. A. 2013, "Endomorphism rings of Abelian groups vol. 2, Springer Science & Business Media.Feigelstock S. Additive groups of rings. Pitman advanced publishing program, London, 1983.Feigelstock, S. 1983, "Additive groups of rings Pitman advanced publishing program, London.Arnold D. M. Finite rank torsion free abelian groups and rings. Lecture Notes in Math. Vol. 931. Springer, New York, 1982.Arnold, D. M. 1982, "Finite rank torsion free abelian groups and rings Lecture Notes in Math, vol. 931, Springer, New York.Stephenson W. Unique addition rings // Canad. J. Math. 1969. Vol. 21, №6. P. 1455-1461.Stephenson, W. 1969, "Unique addition rings Canad. J. Math., vol. 21, no. 6, pp. 1455-1461.Nelius Chr.-F. Ring emit eindentiger Addition. Padeborn, 1974.Nelius, Chr.-F. 1974, "Ring emit eindentiger Addition Padeborn, 1974.Михалев А. В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988. Том 135(177), №2. С. 210–224.Mikhalev, A. V. 1989, "Multiplicative classification of associative rings Mathematics of the USSR-Sbornik, vol. 63, no. 1, pp. 205-218.van der Merwe B. Unique addition modules // Communications in algebra. 1999. Vol. 27(9). P. 4103–4115.van der Merwe, B. 1999. "Unique addition modules Communications in algebra, vol. 27, no. 9, pp. 4103–4115.Чистяков Д. С., Любимцев О. В. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндо- морфизмов // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2011. № 2(14). P. 55–58.Chistyakov D. S. & Lyubimtsev O. V. 2011, "On abelian torsion free with UA-endomorphism rings Vestnik TGU, no. 2(14), pp. 55–58.Любимцев O. В., Чистяков Д. С. Абелевы группы как UA-модули над кольцом Z // Матем. заметки. 2010. Том 87, №3. С. 412–416.Chistyakov D. S. & Lyubimtsev O. V. 2010, "Abelian groups as UA-modules over the ring Z Mathematical Notes, vol. 87, no. 3, pp. 380–383.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.