ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ ФИБОНАЧЧИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Обобщенные числа Фибоначчи { F (g) i } , определяемые с помощью рекуррентного соотношения F (g) i+2 = gF(g) i+1 + F (g) i , и начальных условий F (g) 0 = 1, F (g) 1 = g определяют способ представления натуральных чисел в виде жадного разложения n = ∑k i=0 εi(n)F (g) i , описываемого при помощи естественных условий на εi(n). В частности, при g = 1 получаем хорошо известную систему счисления Фибоначчи. Разложения, получаемые при g > 1 будем называть представлениями натуральных чисел в обобщенных системах счисления Фибоначчи.

Настоящая работа посвящена изучению множеств F (g) (ε0, . . . , εl), со- стоящих из натуральных чисел, имеющих заданное окончание представления в обобщенной системе счисления Фибоначчи. Основным результатом работы является теорема геометризации, описывающая множества F (g) (ε0, . . . , εl) в терминах дробных долей вида {nτg}, τg = √ g 2+4−g 2 . Более строго, для любого допустимого окончания (ε0, . . . , εl) существуют эффективно вычислимые a, b ∈ Z такие, что n ∈ F (g) (ε0, . . . , εl) тогда и только тогда, когда дробная доля {(n + 1)τg} принадлежит отрезку [{−aτg}; {−bτg}]. Ранее аналогичная теорема была доказана авторами для классической системы счисления Фибоначчи.

В качестве приложения рассматривается ряд аналогов классических теоретико-числовых задач над множествами F (g) (ε0, . . . , εl). В частности получены асимптотические формулы для количества чисел из данных множеств, принадлежащих заданной арифметической прогрессии, для количества простых чисел из заданного множества, для количества представлений натурального числа в виде суммы заданного числа чисел из данных множеств, а также для чисел решений аналогов задач Лагранжа, Гольдбаха и Хуа-Локена над данными множествами.

1. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. N 5. P. 54-76.

2. Knuth D.E. Fibonacci multiplication // Appl. Math. Lett. 1988. V. 1. P. 57-60.

3. Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {nα+γ} // J. Number Theory. 1997. V. 65. P. 48-73.

4. Van Ravenstein T. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. V. 45. P. 360-370.

5. Shutov A.V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory, A. Laurincikas and E. Manstavicius (Eds). 2007. P. 190-203. Vilnius:TEV [6] Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte ¨Konvergenzph¨anomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. 1910. N 30. P. 377-407.

6. Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды МИАН. 1937. Т. 10. С. 5-122.

7. Грехэм Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика // М.: Мир. 1998.

8. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Задача Хуа-Локена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, N 7. С. 497-500.

9. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2010. Т. 5(76), N 18. С. 83-87.

10. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, N 6. С. 413-417.

11. Давлетярова Е.П., Жукова А.А., Шутов А.В. Геометризация системы счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, N 6. С. 1-23.

12. Журавлев В.Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19, N 3. С. 177-208.

13. Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, N 2. С. 89-122.

14. Журавлев В.Г. Суммы квадратов над ◦-кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 165-190.

15. Журавлев В.Г. Уравнение Пелля над ◦-кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2008. Т. 350. С. 139-159.

16. Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, N 3. С. 18-46.

17. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей // М.: Мир. 1985.

18. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. N 7(57). С. 84-91.

19. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика. 2009. N 7. С. 3-9.

20. Матиясевич Ю.В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-й проблемой Гилберта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. С. 132-144.

21. Матиясевич Ю.В. Две редукции 10-й проблемы Гилберта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 8. С. 145-158.

22. Швагирева И.К. Бинарные аддитивные задачи над ◦-прогессиями Фибоначчи // Материалы VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы, Тула, 11-16 мая 2010 года ТГПУ, Тула. 2010. С. 198-200.

23. Шутов А.В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11. С. 255-262.

24. Шутов А.В. Неоднородные диофантовы приближения и распределение дробных долей // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, N 6. С. 189-202.

25. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 3. С. 112-121.

26. Шутов А.В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2005. N 3. С. 146-158.