АСИМПТОТИКА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ БЕЛЛА

Аннотация

Числа Белла B(s), как известно, определяют количество разбиений s-элементного множества на классы и с увеличением s имеют экспоненциальный рост. Поэтому становится актуальным исследование асимптотики s >> 1 последовательности {B(s)} чисел Белла B(s), например, в связи с решением следующей комбинаторной задачи. Пусть имеется дискрет- ное пространство элементарных событий, содержащее s точек с заданным законом распределения вероятностей p1; . . . ; ps, p1 + . . . + ps = 1. На кон- фигурациях разбиений следует определить такое разбиение, при котором достигается минимум информационной энтропии по К. Шеннону. С этой задачей сталкиваются при оптимизации блочного управления сложными кибернетическими системами самого разного назначения. В представленной работе установлены некоторые асимптотические свойства последовательности чисел Белла {B(s)}. Основной результат ра- боты представляет соотношение: lims→∞ B(s)B(s + 2) B2 (s + 1) = 1, где B(s); B(s+1); B(s + 2) — числа Белла с номерами s; s + 1; s + 2. Этот результат пока- зывает, что асимптотически последовательность чисел Белла ведет себя как геометрическая прогрессия со знаменателем x∗ = B(s + 1)/B(s). В рамках аддитивного представления чисел Белла с помощью чисел Стир- линга установлена асимптотика B(s) St(s; n∗) (n ∗ ) s/(n ∗ )!, где n∗ = [x∗]. Таким образом, установлен новый класс последовательностей, топология которых характеризуется асимптотикой в виде геометрической прогрес- сии. Этот фактор используется для оптимизации управления системными объектами.