О МНОГООБРАЗИИ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ ДВОЙНОЙ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Альфред Тарский был первым из математиков, кто начал рассматривать алгебры отношений с точки зрения теории универсальных алгебр. Одним из важных направлений в исследованиях алгебр отношений является изучение их свойств, выраженных в виде тождеств. Это приводит к необходимости изучения многообразий, порожденных различными классами алгебр отношений. Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через R{Ω} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений с операциями из Ω. Пусть V ar{Ω} – многообразие, порожденное классом R{Ω}. Как правило, операции над отношениями задаются с помощь формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операций является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой (в другой терминологии – примитивно-позитивной), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. Диофантову операцию назовем атомарной, если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь кванторы существования. Ясно, что такие формулы могут содержать лишь одну атомарную подформулу, и, следовательно, всякая атомарная операция является унарной. Существует девять атомарных диофантовых операций (исключая тождественную). Сосредоточим свое внимание на диофантовой операции умножения отношений ◦ и атомарной операции двойной цилиндрофикации, определяемых следующим образом. Для заданных отношений ρ и σ на множестве U, положим ρ ◦ σ = {(u, v) : (∃w)(u, w) ∈ ρ(w, v) ∈ σ}, ∇(ρ) = {(u, v) : (∃w, z)(w, z) ∈ ρ}. В работе найден базис тождеств многообразия V ar{◦, ∇}: алгебра (A, ·, ∗ ) типа (2, 1) тогда и только тогда принадлежит многооб- разию V ar{◦, ∇}, когда она удовлетворяет тождествам: (xy)z = x(yz), x ∗∗ = x ∗ , (x ∗ ) 2 = x ∗ , x ∗y ∗ = y ∗x ∗ , x ∗ (xy) ∗ = (xy) ∗y ∗ = (xy) ∗ , (xy∗ z) ∗ = x ∗y ∗ z ∗ = x ∗yz, xyz∗ = xyx∗ z ∗ , x ∗yz = x ∗ z ∗yz.

1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. – 1941. – Vol. 6. – P. 73–89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J. Symbolic Logic. – 1953. – Vol. 18. – P. 188–189.

3. Andrґeka H., Nґemeti I. and Sain, I. Algebraic Logic // In: Handbook of Philosophical Logic. Vol. 2, second edition, P.133–247, Kluwer Academic publishers (2001).

4. Schein B. M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. – 1970. – Vol. 1. – P. 1–62.

5. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирский мат. журн. – 1997. – N 1. – С. 29–41.

6. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады Российской Академии Наук. – 1998. – Т. 360. – С. 594–595.

7. B¨oner F., P¨oschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. – 1991. – Vol. 7. – P. 50–70.

8. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Известия вузов. Математика. – 1993. – N 3. – С. 23-30.

9. Henkin L., Monk J. D., Tarski A. Cylindric algeras. North-Holland, Amsterdam, 1971. 311 pp.

10. Kuhn S. The domino relations: flattening a two-dimensional logic // Journal of Philosophical Logic. – 1989. – Vol. 18. – P. 173–195.

11. Venema Y. Many-dimensional modal logic. Universiteit van Amsterdam, Amsterdam, 1989. 178 pp.

12. Schein B. M. Representation of involuted semigroups by binary relations // Fundamenta Math. – 1974. – Vol. 82. – P. 121–141.

13. Bredikhin D. A. On the varieties generated by partially ordered involuted semigroups of binary relations // Contributions to genera algebra. – 2001. – Vol. 13. – P. 70–77.

14. Andreka H., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 516–532 .

15. Bredikhin D. A. On varieties of partial ordered semigroups of relations with operations of cylindrification // Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform. 2009. Vol. 9. iss. 3 P. 3-7.