n-crowns in toric tilings into bounded remander sets
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-246-260
Abstract
The Arnoux-Ito theory of geometric substitutions allows to construct sequences of generalized exchanged tilings of the d-dimensional torus. These tilings consist of parallelepipeds of d + 1 type, and the action of a certain toric shift on the tiling reduces to exchanging of the d + 1 central parallelepipeds. Moreover, the set of vertices of all parallelepipeds of the tiling is a fragment of the orbit of zero point under considered toric shift. The considered tilings are actively used in various problems of number theory, combinatorics, and the theory of dynamical systems. In this paper, we study the local structure of toric tilings obtained using geometric substitutions. The n-corona of the parallelepiped is a set of all parallelepipeds located at a distance of not greater than n from a given parallelepiped in the natural metric of the tiling. The problem is to describe all possible types of n-coronas. With each parallelepiped in the tiling we can naturally assigned a number — its number in the orbit of the corresponding central parallelepiped with respect to the toric shift. It is proved that the set of all parallelepipeds numbers splits into a finite number of half-intervals defining possible types of n-coronas. Moreover, it is proved that the boundaries of the corresponding half-open intervals are determined by the numbers of the parallelepipeds in the n-corona of the set of d + 1 central parallelepiped. It is shown that this result can be considered as some multi-dimensional generalization of the famous three lengths theorem. Earlier, a similar description was obtained for 1-coronas of the toric tilings obtained using one specific geometric substitution: the Rauzy substitution. In addition, similar results were previously obtained for some quasiperiodic plane tilings. In conclusion, some directions for further research are formulated.
About the Authors
Alla Adolfovna ZhukovaRussian Federation
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor at the Department of Information Technologies, Russian Academy of National Economy and Public Administration under the President of Russian Federation, Vladimir branch (Vladimir)
Anton Vladimirovich Shutov
Russian Federation
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Computer Engineering and Control Systems, Vladimir State University named after Alexander and Nicholay Stoletovs (VlSU) (Vladimir)
References
1. Arnoux P., Ito S. Pisot substitutions and Rauzy fractals // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2001. V. 8, Issue 2. P. 181–207.
2. Floreik K. Une remarque sur la repartition des nombres m $$ \xi\ $$ mod 1 // Coll. Math. Wroclaw. 1951. V. 2. P. 323-324.
3. Lagarias J. C., Pleasants P. A.B. Repetitive Delone sets and quasicrystals // Ergod. Th. Dyn. Sys. 2003. V. 23. P. 831–867.
4. Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics // Springer. 2001.
5. Rauzy G. Nombres alge′briques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 147–178.
6. Ravenstein T. V. The three gap theorem (Steinhaus conjecture) // J. Austral. Math. Soc. Ser. A 1988 V. 45. P. 360–370.
7. Schattschneider D., Dolbilin N. One corona is enough for the Euclidean plane // Quasicrystals and discrete geometry (Toronto. ON. 1995), Fields Inst. Monogr. 10, Amer. Math. Soc. Providence. RI. 1998. P. 207–246.
8. Shutov A. V., Maleev A. V. Quasiperiodic planetilings based on stepped surfaces // Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography. 2008. V. 64, Issue 3. P. 376–382.
9. Shutov A. V., Maleev A. V., Zhuravlev V. G. Complex quasiperiodic self-similar tilings: Their parameterization, boundaries, complexity, growth and symmetry // Acta Crystallographica. Section A: Foundations of Crystallography. 2010. V. 66, Issue 3. P. 427–437.
10. Siegel A., Thuswaldner J. M. Topological properties of Rauzy fractals // Mem. Soc. Math. Fr. N.S. 2009. V. 118. P. 1–144.
11. Slater N., Gaps and steps for the sequence n $$ \theta $$ mod 1 // Proc. Camb. Phil. Soc. 1967. V. 63. P. 1115–1123.
12. S´os V. T. S. On the distribution mod 1 of the sequence n $$ \alpha $$ // Ann. Univ. Sci. Budapest E¨otv¨os Sect. Math. 1958. V. 1. P. 127–134.
13. ´Swierczkowski S. On successive settings of an arc on the circumference of a circle // Fund. Math. 1958. V. 46. P. 187–189.
14. Zhuravlev V. G. On additivity property of the complexity function related to rauzy tiling // Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. 2007. P. 240–254.
15. Жукова А. А., Шутов А. В. Подстановка Рози и локальная структура разбиений тора // Чебышевский сборник 2019. Т. 20, вып. 4.
16. Журавлев В. Г. Двумерные приближения методом делящихся торических разбиений // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2015. Т. 440. С. 81–98.
17. Журавлев В. Г. Делящиеся разбиения тора и множества ограниченного остатка // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2015. Т. 440. С. 99–122.
18. Журавлев В. Г. Дифференцирование индуцированных разбиений тора и многомерные приближения алгебраических чисел // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2016. Т. 445. С. 33–92.
19. Журавлев В. Г. Индуцированные множества ограниченного остатка // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 5. С. 171–194.
20. Журавлев В. Г. Модули торических разбиений на множества ограниченного остатка и сбалансированные слова // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 4. С. 97–136.
21. Журавлев В. Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, № 2. С. 89–122.
22. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83–106.
23. Журавлев В. Г., Малеев А. В. Послойный рост квазипериодического разбиения Рози // Кристаллография. 2007. Т. 52, № 2. С. 204–210.
24. Журавлев В. Г., Малеев А. В. Функция сложности и форсинг в двумерном квазипериодическом разбиении Рози // Кристаллография. 2007. Т. 52, № 4. С. 610–616.
25. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Одномерные квазипериодические разбиения и их приложения // Владимир. ВФ РУК. 2011.
26. Кузнецова Д. В., Шутов А. В. Перекладывающиеся разбиения тора, подстановка Рози и множества ограниченного остатка // Матем. заметки. 2015. Т. 98, № 6. С. 878–897.
27. Мануйлов Н. Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2003. Т. 302, № 19. С. 81–95.
28. Мануйлов Н.Н. Прямые перенормировки на одномерном торе // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 142–154.
29. Шутов А. В. Перекладывания на торе и многомерная проблема Гекке-Кестена // Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. Т. 6, № 2. С. 249–253.
30. Шутов А. В. Подстановки и множества ограниченного остатка // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 501–522.
31. Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 314. С. 272–284.
32. Шутов А. В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2006. Т. 7, № 3. С. 110–128.
33. Шутов А. В., Малеев А. В. Сильная параметризация и координационные окружения графа вершин разбиения Пенроуза // Кристаллография. 2017. Т. 62, № 4. С. 535–542.
Review
For citations:
Zhukova A.A., Shutov A.V. n-crowns in toric tilings into bounded remander sets. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):246-260. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-246-260
Views:
436
Email this article 