К проблеме устойчивости периодического решения в условиях бифуркации Хопфа

Данная работа посвящена проблеме устойчивости малого периодического решения нормальной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании устойчивости периодического решения автономной системы естественно анализировать локальную динамику пересечений возмущенных траекторий с ортогональными сечениями соответствующего цикла. Путем введения специальной системы координат, в которой одна из осей направлена по касательной к траектории периодического решения, задача об орбитальной устойчивости периодического решения сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову нулевого решения вспомогательной системы с периодической по t правой частью. Для вспомогательной системы, размерность которой на единицу меньше размерности исходной системы, в линейном приближении вопрос об устойчивости нулевого решения сводится к оценке мультипликаторов матрицы монодромии. Таким образом, по теореме Андронова — Витта реализуется классический подход к исследованию орбитальной устойчивости периодического решения. При этом имеет место некритический случай орбитальной устойчивости. Такой подход традиционно используется и в условиях бифуркации типа Хопфа для систем с параметром. В данной работе для автономной системы с параметром получены условия бифуркации малого решения, период которого близок к периоду решений соответствующей линейной однородной системы. Сформулировано определение свойства орбитальной устойчивости по параметру, согласно которому возмущенные правые полутраектории сколь угодно близки к исследуемому циклу не только за счет малости возмущений начальных значений, но и за счет малости параметра. При этом использована идея ослабления требований определения устойчивости ляпуновского типа, предложенная М.М. Хапаевым. Свойство орбитальной устойчивости по параметру может иметь место и при наличии орбитальной неустойчивости исследуемого цикла в классическом смысле. Для исследования орбитальной устойчивости малого периодического решения по параметру использовано нелинейное приближение упомянутой выше вспомогательной системы возмущенных движений.

1. Демидович Б. П. Об одном аналоге теоремы Андронова — Витта // ДАН СССР 1967. Т. 176, №.5. С. 994-996.

2. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.

3. Красносельский М. А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. C. 15–24.

4. Дунаева О. В., Шестаков А. А. О понятиях орбитальной устойчивости и фазовой устойчивости движений динамической системы // ДАН СССР. 1997. Т. 335, № 3. C. 33–341.

5. Мамонов С.С., Харламова А. О. Вынужденная синхронизация систем фазовой синхронизации с запаздыванием // Вестник РГРТУ. 2017. № 62. C. 26–35.

6. Мамонов С. С., Харламова А. О., Ионова И. В. Колебательно-вращательные циклы фазовой системы дифференциальных уравнений // Вестник РАЕН. 2018. Т. 18, № 4. С. 51–57.

7. Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986.

8. Абрамов В. В. Устойчивость нулевого решения периодической системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Журнал СВМО. 2010. Т. 12, № 4. С. 49–54.

9. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956.

10. Абрамов В. В. Ненулевое периодическое решение нелинейной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 11. С. 1572.

11. Абрамов В. В. Устойчивость малого периодического решения // Вестник РАЕН. 2013. Т. 13, № 4. С. 3–5.

12. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

13. Абрамов В. В. К вопросу об устойчивости решения по параметру // Известия ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. Вып. 1. С. 3–8.

14. Абрамов В. В. Ветвление периодического решения неавтономной системы с малым параметром // Вестник РАЕН. 2015. Т. 15, № 3. С. 3–7.

15. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траектория дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

16. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.