К проблеме устойчивости периодического решения в условиях бифуркации Хопфа
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-78-91
Аннотация
Данная работа посвящена проблеме устойчивости малого периодического решения нормальной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании устойчивости периодического решения автономной системы естественно анализировать локальную динамику пересечений возмущенных траекторий с ортогональными сечениями соответствующего цикла. Путем введения специальной системы координат, в которой одна из осей направлена по касательной к траектории периодического решения, задача об орбитальной устойчивости периодического решения сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову нулевого решения вспомогательной системы с периодической по t правой частью. Для вспомогательной системы, размерность которой на единицу меньше размерности исходной системы, в линейном приближении вопрос об устойчивости нулевого решения сводится к оценке мультипликаторов матрицы монодромии. Таким образом, по теореме Андронова — Витта реализуется классический подход к исследованию орбитальной устойчивости периодического решения. При этом имеет место некритический случай орбитальной устойчивости. Такой подход традиционно используется и в условиях бифуркации типа Хопфа для систем с параметром. В данной работе для автономной системы с параметром получены условия бифуркации малого решения, период которого близок к периоду решений соответствующей линейной однородной системы. Сформулировано определение свойства орбитальной устойчивости по параметру, согласно которому возмущенные правые полутраектории сколь угодно близки к исследуемому циклу не только за счет малости возмущений начальных значений, но и за счет малости параметра. При этом использована идея ослабления требований определения устойчивости ляпуновского типа, предложенная М.М. Хапаевым. Свойство орбитальной устойчивости по параметру может иметь место и при наличии орбитальной неустойчивости исследуемого цикла в классическом смысле. Для исследования орбитальной устойчивости малого периодического решения по параметру использовано нелинейное приближение упомянутой выше вспомогательной системы возмущенных движений.
Об авторах
Владимир Викторович АбрамовРоссия
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин
Екатерина Юрьевна Лискина
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин
Сергей Станиславович Мамонов
Россия
доктор физико-математических наук, доцент, профессор, заведующий кафедрой математики и методики преподавания математических дисциплин
Список литературы
1. Демидович Б. П. Об одном аналоге теоремы Андронова — Витта // ДАН СССР 1967. Т. 176, №.5. С. 994-996.
2. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.
3. Красносельский М. А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. № 12. C. 15–24.
4. Дунаева О. В., Шестаков А. А. О понятиях орбитальной устойчивости и фазовой устойчивости движений динамической системы // ДАН СССР. 1997. Т. 335, № 3. C. 33–341.
5. Мамонов С.С., Харламова А. О. Вынужденная синхронизация систем фазовой синхронизации с запаздыванием // Вестник РГРТУ. 2017. № 62. C. 26–35.
6. Мамонов С. С., Харламова А. О., Ионова И. В. Колебательно-вращательные циклы фазовой системы дифференциальных уравнений // Вестник РАЕН. 2018. Т. 18, № 4. С. 51–57.
7. Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986.
8. Абрамов В. В. Устойчивость нулевого решения периодической системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Журнал СВМО. 2010. Т. 12, № 4. С. 49–54.
9. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ, 1956.
10. Абрамов В. В. Ненулевое периодическое решение нелинейной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 11. С. 1572.
11. Абрамов В. В. Устойчивость малого периодического решения // Вестник РАЕН. 2013. Т. 13, № 4. С. 3–5.
12. Зубов В. И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.
13. Абрамов В. В. К вопросу об устойчивости решения по параметру // Известия ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. Вып. 1. С. 3–8.
14. Абрамов В. В. Ветвление периодического решения неавтономной системы с малым параметром // Вестник РАЕН. 2015. Т. 15, № 3. С. 3–7.
15. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траектория дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.
16. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.
Рецензия
Для цитирования:
Абрамов В.В., Лискина Е.Ю., Мамонов С.С. К проблеме устойчивости периодического решения в условиях бифуркации Хопфа. Чебышевский сборник. 2019;20(3):78-91. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-78-91
For citation:
Abramov V.V., Liskina E.Yu., Mamonov S.S. On the problem of periodic solution’s stability under Hopf bifurcation. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):78-91. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-78-91