Тригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближений
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-207-220
Аннотация
Это обзор результатов по метрической теории диофантовых приближений на многообразиях в n-мерном евклидовом пространстве, в доказательстве которых используются тригонометрические суммы.
Мы приводим как классические теоремы, так и современные результаты для многообразий Γ, dim Γ = m, n/2 < m < n. Мы также показываем, как происходит переход от задачи о диофантовых приближениях к оценке тригонометрической суммы или тригонометрического интеграла, и приводим необходимые соображения теории меры.
Если m ≤ n/2, то обычно используют другие методы. Например, метод существенных и несущественных областей или методы эргодической теории.
Здесь даны две фундаментальные теоремы рассматриваемой теории. Одну из них в 1977 г. доказал В. Г. Спринджук. Другую теорему в1998 г. получили Д. И. Клейнбок и Г. А. Маргулис. Первая теорема была доказана методом тригонометрических сумм. Вторая теорема – методами эргодической теории. Для ее доказательства авторами была найдена связь между диофантовыми приближения и однородными динамическими системами.
В заключении кратко упоминаем о тенденциях развития метрической теории диофантовых приближений зависимых величин, даем ссылки на ее современные аспекты.
Список литературы
1. Берник В. И., Ковалевская Э. И. Экстремальное свойство некоторых поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве // Матем. заметки, 1974, Т. 15, № 2. С. 247–254.
2. Берник В. И., Мельничук Ю. В. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа. – Минск: Наука и техника, 1988.
3. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. М: Иностр. лит. 1961. (перевод с англ. А.М. Полосуева); Cassels J. W. S. An introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Math and Math. Phys., 45. Cambridge Univ. Press. 1957.
4. Ковалевская Э. И. "Гиперболические" диофантовы приближения на аналитических многообразиях // Докл. АН БССР, 1975, Т. 19, № 3. С. 200–203.
5. Ковалевская Э. И. Диофантовы приближения с квадратичными многочленами // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. н. 1975, № 4. С. 5–14.
6. Ковалевская Э. И. Одно геометрическое свойство экстремальной поверхности // Матем. заметки. 1978. № 23(2). С. 177–181.
7. Ковалевская Э. И. Тригонометрические суммы и метрическая теория диофантовых приближений на многобразиях. Материалы конференции // XV Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения посвященная столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Коробова Николая Михайловича: тезисы докладов международной конференции (Тула, 28–31 мая 2018 г.). — Тула, 2018. С. 257–260.
8. Ковалевская Э. И. Геометрическое и арифметическое описание экстремальных многобразий в метрической теории диофантовых приближений. Материалы конференции // XVI Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения и проблемы истории посвященная 80-летию со дня рождения профессора Мишеля Деза.: тезисы докладов международной конференции (Тула, 13–18 мая 2019 г.). — Тула, 2019. C. 239–241.
9. Ковалевская Э. И., Рыкова О. В. Развитие метода существенных и несущественных областей для подсчета векторов с действительными алгебраическими координатами вблизи гладких поверхностей // Чебышевский сборник — Тула: Изд-во ТПГУ, 2013, T. 14, вып. 4. С. 119–126.
10. Кубилюс Й. П. О применении метода академика Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // Докл. АН СССР. 1949. Том 67. С. 783–786.
11. Кубилюс Й. П. О применении метода академика Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // Докл. АН СССР. 1949. Том 67. С. 783–786.
12. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел // Минск: Изд-во Наука и техника, 1967. 184 с.
13. Спринджук В. Г. Метод тригонометрических сумм в метрической теории диофантовых приближений зависимых величин // Труды Матем. ин-та Ан СССР, 1972. Т. 128, № 2. С. 212–254.
14. Спринджук В. Г. Метрическая система диофантовых приближений / В. Г. Спринджук // Москва: Изд-во Наука, 1977. 144 с.
15. Adiceam F., Beresnevich V., Levesley V., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation and applications in interference alignment // Advances in Math. 302. 2016, P. 231–279.
16. Bayramoglu M., Jabbarov I. Sh., Kazimova L. G. On some theoretic-functional results concerning the theory of extremality and their application // Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb. 44(2). 2018, P. 229–237.
17. Beresnevich V., Bernik V., Götze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Advances in Math. 298. 2016, P. 393–412.
18. Beresnevich V., Ramirez F., Velani S. Metric Diophantine approximation: aspects on recent work. In Dynamics and Analytic Number Theory. LMS Lecture Notes Ser. 437. 2016 (eds. D. Badziahin, A. Gorodnik, N. Reyerimhoff). Cambridge Univ. Press (Cambridge. 2016). P. 1–95.
19. Beresnevich V., Lee L., Vaughan R. C., Velani S. Diophantine approximation on manifolds and lower bounds Hausdorff dimension // Math. 63. 2017. P. 762–779.
20. Beresnevich V., Velani S. A note on three problems in metric Diophantine approximation. In recent Trends in Ergodic Theory and Dynamical Systems, Contemp. Math. 631. 2015. Amer. Math. Soc. Providence. R. I. 2015. P. 211–229.
21. Beresnevich V., Vaughan R. C., Velani S., Zorin E. Diophantine approximation on manifolds and the distribution of rational points: contributions to the convergence theory // Int. Math. Research Notices. 2016. P. 1–24.
22. Bernik V. I., DodsonM. M. Metric Diophantine Approximation of Manifolds. Cambridge Tracts in Math. Vol. 137. Cambridge University Press. Cambridge. 1999.
23. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers. Cambridge Tracts in Math. Vol. 169. Cambridge Univ. Press, 2004.
24. Dodson M. M., Vickers J. A. G. Number Theory and dynamical systems // London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 134. Cambridge Univ. Press. 1989.
25. Kleinbock D. Y., Margulis G. A. Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds // Ann. Math. 1998. Vol. 148. P. 339–360.
26. Kovalevskaja E. I. Metric theorems on the approximation of zero by a linear combination of polynomials with integral coefficients, Acta Arith. 1973. Vol. 25. P. 93–104.
27. Kovalevskaya E. The convergence part of a Khintchne-type theorem in the ring of adeles // Tatra Mountains Math. Publ. 59. 2014. P. 39–50.
28. Schmidt W. M. Über Gitterpunkte auf gewissen Flächen // Monatch. Math. 68. 1964, No. 1. P. 59–74.
29. Schmidt W. M. Metrische Sätze Über simultane Approximationabhängiger Grössen // Monatch. Math. 1964. Vol. 68, No. 2. P. 154–166.
30. Schmidt W. M. Diophantine Approximation. Lecture Notes in Math. Vol. 785. Springer-Verlag, 1980.
31. Steuding J. Diophantine analysis. Course notes from a Summer School. Trends in Math. Birkhäuser. Springer Int. Publ. AG. 2016.
Рецензия
Для цитирования:
Ковалевская Э.И. Тригонометрические суммы в метрической теории диофантовых приближений. Чебышевский сборник. 2019;20(2):207-220. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-207-220
For citation:
Kavaleuskaya E.I. Trigonometric sums in the metric theory of Diophantine approximation. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(2):207-220. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-207-220
Просмотров:
428
Послать статью по эл. почте 