ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИЛЬНО СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

В работе доказана полнота списка замкнутых выпуклых многогранников в E3, сильно симметричных относительно вращения граней. Многогранник называется симметричным, если он имеет хотя бы одну нетривиальную ось вращения. Все оси пересекаются в одной точке, которая называется центром многогранника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются симметричными многогранниками. Выпуклый многогранник называется сильно симметричным относительно вращения граней, если у каждой его грани Fимеется ось вращения L, пересекающая относительную внутренность F, и Lявляется осью вращения многогранника. Очевидно, что порядок оси вращения Lне обязательно совпадает с порядком этой оси, если грань Fрассматривать как фигуру, отделённую от многогранника. Ранее автором было доказано, что требование глобальной симметрии многогранника относительно осей вращения граней можно заменить более слабым условием симметрии звезды каждой грани многогранника: для того, чтобы многогранник был сильно симметричным относительно вращения граней, необходимо и достаточно, чтобы некоторая нетривиальная ось вращения каждой грани, рассматриваемой как фигура, отделённая от многогранника, являлась осью вращения звезды этой грани. Под звездой грани Fпонимается сама грань и все грани, имеющие хотя бы одну общую вершину с F. Учитывая это условие, определение многогранника сильно симметричного относительно вращения граней эквивалентно следующему: многогранник называется сильно симметричным относительно вращения граней, если некоторая нетривиальная ось вращения каждой грани, рассматриваемой как фигура, отделённая от многогранника, является осью вращения звезды этой грани. При доказательстве основной теоремы о полноте списка многогранников рассматриваемого класса используется результат о полном перечислении так называемых сильно симметричных многогранников 1-го и 2-го класса из [1]. В настоящей статье доказывается, что помимо многогранников 1-го и 2-го класса к многогранникам, сильно симметричным относительно вращения граней, принадлежат ещё только 8 типов многогранников. Из этих восьми типов 7 не являются даже комбинаторно эквивалентными равноугольно-полуправильным (архимедовым). Один тип из восьми является комбинаторно эквивалентным равноугольно-полуправильному многограннику, но не принадлежит многогранникам 1-го или 2-го класса. Переходя к многогранникам, двойственным сильно симметричным относительно вращения граней, т.е. к многогранникам, сильно симметричным относительно вращения многогранных углов, получаем и их полное перечисление. Отсюда следует, что существует 7 типов многогранников, сильно симметричных относительно вращения многогранных углов, которые не являются комбинаторно эквивалентными телам Гесселя. Класс многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней в работе обозначается SF. Класс SF, а также и упомянутые многогранники 1-го и 2-го класса можно рассматривать как обобщение класса правильных (платоновых) многогранников. Другие обобщения правильных многогранников можно найти в работах [3],[4], [12]-[15].

1. Субботин В. И. Сильно симметричные многогранники.// Геометрия и топология. 8. (Зап. научн. семин. ПОМИ, т.299), 2003. C.314-325.

2. Циглер Г. М. Теория многогранников. М., МЦНМО, 2014, 568 с.

3. Coxeter H. S. М. Regular polytopes, London-NY., 1963. 648p.

4. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями, //Зап. научн. сем. ЛОМИ, 2, 1967, 220 с.

5. Субботин В. И. О вполне симметричных многогранниках. //Материалы Международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям, посвящ.70-летию проф. С.С.Рышкова .М.: МГУ, 2001. С. 88-89.

6. Субботин В. И. Перечисление многогранников, сильно симметричных относительно вращения //Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Ростов-на-Лону, 2002. C.77-78.

7. Субботин В. И. О некоторых обобщениях сильно симметричных многогранников. // Чебышевский сборник. 2015. Т.16, №2. С. 222-230.

8. Subbotin V.I. Characterization of polyhedral partitioning a space. //Voronoy conference on analytic number theory and spatial tessellations. Kiev: September, 22-28,2003. P.46.

9. Емеличев В. А., Ковалёв М. М., Кравцов М. К. Многогранники. Графы. Оптимизация. М.: Наука, 1981. 344 с.

10. Субботин В. И. Многогранники с максимальным числом несимметричных граней. // Метрическая геометрия поверхностей и многогранников. Материалы Международной конф., посвящ.100-летию Н.В.Ефимова. М.: Макс-Пресс, 2010. С.60-61.

11. Субботин В. И. О симметричных многогранниках с несимметричными гранями.// Материалы Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», посвящ. 80-летию акад. О.Б.Лупанова.М.:МГУ, 2012. С.398-400.

12. Тимофеенко А. В. О выпуклых многогранниках с равноугольными и паркетными гранями. // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, №2. С. 118–126.

13. Ефремович В. А. Трёхмерные правильные многогранники. // УМН, 2,вып.5. 1947. C.197.

14. Грек А. С. Правильные многогранники на замкнутой поверхности с эйлеровой характеристикой, равной -3.//Известия высших учебных заведений, сер. Математика, 6, 1966, C.50-53.

15. Стрингхем В. И. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. // УМН, 1944, № 10. C. 22–33.