АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ПОЧТИ ПОЛИАДИЧЕСКИХ РЯДОВ

Статья посвящена исследованию арифметической природы значений в целых точках рядов, принадлежащих так называемому классу \(F\)-- рядов, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами --- рациональными функциями от \(z\).

Рассматривается подкласс \(F\)- рядов, который состоит из рядов вида

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot n! z^n \, $$

у которых \(a_n\in \mathbb{Q}\) и \(\left|a_n\right| \leq e^{c_1 n}\), \(n=0,1,...\), где \(c_1\)- некоторая постоянная.
Кроме того, существует последовательность натуральных чисел \(d_n\) таких, что \(d_n a_k\in\mathbb{Z},\;k=0,\ldots,n\). При этом \(d_n=d_{0,n} d^{n},\;d_{0,n}\in\mathbb{N},\;n=0,1,\ldots,\;d \in\mathbb{N}\) и для любого \(n\) число \(d_{0,n}\) делится только на простые числа \(p\), для которых выполнено неравенство \(p\leq c_2n\). Предполагаем также,что степень, в которой число \(p\) входит в разложение числа \(d_{0,n}\), обозначаемая \(ord_pn\), удовлетворяет при всех \(n\) неравенству $$ord_pn\leq c_3\left(\log_pn+\frac{n}{p^{2}}\right).$$
При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу \(F\left(\mathbb{Q},c_1,c_2,c_3,d\right)\).

Ряды такого вида сходятся в точке \(z\in\mathbb Z\), \(z\ne 0\), если рассматривать их, как \(p\)--адические числа при любом простом \(p\), кроме быть может конечного числа простых \(p\).

Прямое произведение колец целых \(p\)-- адических чисел по всем простым \(p\) называется кольцом целых полиадических чисел. Его элементы

$$\mathfrak{a}=\sum a_n\cdot n!$$
можно рассматривать, как бесконечномерные векторы, координаты которых, соответствующие полю \(\mathbb Q_p\), представляют собой сумму \(\mathfrak{a}^{(p)}\) ряда \(\mathfrak{a}=\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot n!\) в поле \(\mathbb Q_p\).

Для любого многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами определим \(P(\mathfrak{a})\) как вектор, координаты которого в поле \(\mathbb Q_p\) равны \(P(\mathfrak{a}^{(p)})\). Следуя классификации введенной в работах В.Г. Чирского, назовем полиадические числа \(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_m\) бесконечно алгебраически независимыми, если для любого многочлена \(P(x_1,\ldots,x_m)\) с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел \(p\) таких, что \(P\left(\mathfrak{a}_1{^{(p)}},\ldots, \mathfrak{a}_m{^{(p)}}\right)\ne 0\) в поле \(\mathbb Q_p\).

В статье доказана теорема, утверждающая, что если \(F\)--ряды \(f_1,\ldots,f_m\) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида

$$P_{1,i}y_i^\prime + P_{0,i}y_i = Q_i, i=1,\ldots,m$$
где \(P_{0,i}, P_{1,i}, Q_i\)-- рациональные функции от \(z\) и если \(\xi\in\mathbb Z\), \(\xi\ne 0\), \(\xi\) отлично от полюсов всех этих рациональных функций, то при условии

$$\exp\left(\int\left(\frac{P_{0,i}(z)}{P_{1,i}(z)}-\frac{P_{0,j}(z)}{P_{1,j}(z)}\right)dz\right)\not\in\mathbb C(z)$$
\(f_1(\xi),\ldots,f_m(\xi)\)-- бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.

Используется модификация метода Зигеля--Шидловского и подход В. Х. Салихова к~доказательству алгебраической независимости функций, составляющих решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

1. Чирский В. Г. (2014), ”Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами”, Доклады Академии наук, математика, том 439, № 6, с. 677–679.

2. Bertrand D., Chirskii V. G, Yebbou Y. (2004), ”Effective estimates for global relations on Euler-type series”, Ann.Fac.Sci.Toulouse.-V.XIII., № 2, pp. 241–260.

3. Чирский В. Г. (2015), ”Арифметические свойства целых полиадических чисел”, Чебышевский сборник, том 16, выпуск 1, с. 254–264.

4. Шидловский А. Б. (1987), ”Трансцендентные числа”, М. Наука, 417с.

5. Салихов В. Х. (1973), ”Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям первого порядка”, Матем. заметки., т.13., № 1, c. 29–40.

6. Чирский. В. Г. (1990), ”О глобальных соотношениях”, Матем. заметки, том.48, вып. 2. с. 123–127 .

7. Нестеренко Ю. В. (1994), ”Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций”, Матем. сборник, т.185, № 10, 48–72 .

8. Чирский В. Г. (2015), ”Об арифметических свойствах ряда Эйлера”, Вестник Московского Университета., Серия 1: Математика. Механика. № 1, с. 59–61 .

9. Постников A. Г. (1971), ”Введение в аналитическую теорию чисел”, М. Наука.

10. Понтрягин Л. С. (1984), ”Непрерывные группы”, М. Наука.

11. Новоселов Е. В. (1960), ”Топологическая теория делимости целых чисел”, Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та 3, с. 3–23.

12. Чирский В. Г., Шакиров Р. Ф. (2013), ”О представлении натуральных чисел с использованием нескольких оснований”, М. Чебышевский сборник., № 1.

13. Матвеев В. Ю., Чирский В. Г. (2013), ”О ряде из произведений членов арифметической прогрессии”, Преподаватель XXI век., № 4, ч. 2., с. 249–254.

14. Матвеев В. Ю. (2013), ”О значениях некоторого ряда в полиадических точках, хорошо приближаемых натуральными числами”, Преподаватель XXI век., № 4, ч. 2., с. 255–259.

15. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. (2013), ”О некоторых свойствах полиадических разложений”, Чебышевский сборник, том 14 выпуск 2, с. 164–172 .

16. Чирский В. Г. (2011), ”Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел”, Чебышевский сборник, том 12, № 4, 129–134.

17. Чирский В. Г. (2012), ”Полиадические оценки для F-рядов”, Чебышевский сборник, том 13, вып.2, 131–136.

18. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. (2013), ”О представлении натуральных чисел”, Чебышевский сборник., том 14. вып.1, с. 92–101.

19. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. (2013), ”О представлении натуральных чисел”, Вестник МГУ, сер.1, матем., механ., № 6, 57–59.

20. Чирский В. Г. (2014), ”Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами”, Известия РАН, Серия математическая., том 78, выпуск 6, стр. 193–210.

21. Чирский В. Г. (1989), ”О нетривиальных глобальных соотношениях”, Вестник Московского ун-та., сер.1, матем., механ., № 5, с. 33–36

22. Чирский В. Г. (1990), ”Об алгебраических соотношениях в локальных полях”, Вестник Московского ун-та., сер.1, матем., механ., № 3, с. 92–95.

23. Чирский В. Г. (1991), ”Глобальные соотношения и гипергеометрические ряды”, Успехи матем. наук., том.46, вып.6(282), с. 221–222.

24. Чирский В. Г. (1992), ”Об алгебраических соотношениях в неархимедовски нормированных полях”, Функциональный анализ и прилож., том 26, вып.2, с. 41–50.

25. Чирский В. Г. (1994), ”О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях”, Вестник Московского ун-та., сер.1, матем., механ., № 3, с. 93–95.

26. Чирский В. Г. (1994), ”Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей”, Вестник Московского ун-та., сер.1, матем., механ., № 4, с. 35–39.

27. Чирский В. Г., Bundschuh P. (2004), ”Algebraic independence of elements from C

28. Чирский В. Г. (2005), ”Метод Зигеля в

29. Чирский В. Г. (2005), ”Обобщение понятия глобального соотношения”, Записки научных семинаров ПОМИ, том 322, с. 220–238.

30. Чирский В. Г., Bundschuh P. (2002), ”Algebraic independence of elements from C