ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫМИ СРЕДНИМИ РЯДОВ ФУРЬЕ

Работа касается вопросов приближения периодических дифференцируемых функций высокой гладкости повторными средними арифметическими сумм Фурье. Одна из наиболее общих классификаций периодических функций в настоящее время — классификация, предложенная A. И. Степанцом, основанная на понятии (ψ, β)–дифференцирования. Она позволяет единым образом классифицировать суммируемые периодические функции, начиная от функций, ряд Фурье которых может расходиться, и заканчивая бесконечно дифференцируемыми функциями, включая аналитические и целые. При соответствующем выборе параметров, классы (ψ, β)–дифференцируемых функций совпадают с известными классами Вейля, классами Соболева Wl p и классами сверток с фиксированными ядрами.

В течение последних десятилетий суммы Валле Пуссена и их особые случаи (суммы Фурье и суммы Фейера) интенсивно изучались многими выдающимися специалистами в теории функций.

В настоящее время, большой объем фактического материала накоплен в многочисленных публикациях. Одно из самых важных направлений в этой области — исследование приближающих свойств указанных сумм для различных классов функций.

Цель работы — систематизировать известные результаты, связанные с приближающими свойствами методов суммирования Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона, а также представить новые факты, полученные для их обобщений.

В ряде случаев установлены асимптотические формулы для точных верхних граней отклонений в равномерной метрике тригонометрических полиномов V (2) n,p (f; x), порождаемых повторным применением метода суммирования Валле Пуссена, на классах C ψ β,∞ и C ψ β Hω, которые задаются мультипликаторами ψ(k) и сдвигами по аргументу β при условии, что последовательности ψ(k), определяющие указанные классы, убывают к нулю со скоростью геометрической прогрессии (в этом случае функции из классов C ψ β,∞ и C ψ β Hω допускают регулярное продолжение в соответствующую полосу комплексной плоскости).

В работе рассмотрены обобщенные суммы Валле Пуссена, изучены их приближающие свойства на классах аналитических периодических функций. Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений повторных сумм Валле Пуссена на классах интегралов Пуассона. В соответствующих случаях эти равенства гарантируют решение задачи Колмогорова-Никольского для повторных сумм Валле Пуссена и классов интегралов Пуассона. Указаны условия, при которых повторные суммы предоставляют лучший порядок приближения, чем обычные суммы Валле Пуссена.

1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. Т. 1. 426 с.

2. Акопян Р. Р. Наилучшее приближение оператора дифференцирования на классе аналитических в полосе функций // Тр. ИММ УрО РАН. 2014. T. 20, №1. C. 9–16.

3. Шамоян Р. Ф., Куриленко С. М. Некоторые замечания о дистанциях в пространствах аналитических функций в ограниченных областях с границей из C 2 и в допустимых областях // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, вып. 3. C. 115—130. (English).

4. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1946. Т. 10, №3. С. 207–256.

5. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1980. Т. 145. С. 126–151.

6. Степанец А. И. Приближение суммами Фурье интегралов Пуассона непрерывных функций // Докл. РАН. 2000. T. 373, №2. С. 171–173.

7. Степанец А. И. Приближение аналитических непрерывных функций // Мат. сборник. 2001. Т. 192, №1. С. 113–138.

8. Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближение аналитических периодических функций суммами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. 2002. Т. 54, №12. С. 1653–1668.

9. Рукасов В. И., Новиков О. А. Приближение аналитических функций суммами Валле–

10. Пуссена // Труды института математики НАН Украины. 1998. T. 20. C. 228–241.

11. Сердюк А. С. Приближение интегралов Пуассона суммами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. 2004. Т. 56, №1. С. 97–107.

12. Рукасов В. И., Новиков О. А., Ровенская О. Г. Интегральные представления уклонений средних сумм Фурье на классах C α β,∞. // Вестник Славянского государственного педагогического университета. 2008. T. 1, №3. C. 33–41.

13. Ровенская О. Г., Новиков О. А. Приближение интегралов Пуассона повторными суммами Валле Пуссена // Нелинейные колебания. 2010. Т. 13, №1. С. 96–99.

14. Новиков О. А., Стьопкин А. В., Волик С. В., Вагнер Г. В. Приближение интегралов Пуассона в равномерной метрике // Сборник научных трудов физико-математического факультета Донбасского государственного педагогического университета. 2016. Вып. 6. C. 26–34.

15. Новиков О. А., Ровенская О. Г. Приближение периодических функций высокой гладкости прямоугольными суммами Фурье // Карпатские математические публикации. 2013. Т. 5, №1. C. 111–118.

16. Новиков О. А., Ровенская О. Г. Приближение периодических функций высокой гладкости прямоугольными суммами Фурье // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2013. №5 (148). С. 88–97.

17. Ровенская О. Г., Новиков О. А. Приближение периодических функций высокой гладкости прямоугольными линейными средними рядов Фурье // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4, №3. С. 521–529.