ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ, ИМЕЮЩИМИ ДВОИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Аннотация

Пусть τk(n) — число решений уравнения x1x2 · · · xk = n в натуральных числах x1, x2, . . . xk. Пусть Dk(x) = X n6x τk(n). Задача получения асимптотической формулы для Dk(x) при k = 2 называется проблемой делителей Дирихле, а при k > 3 — обобщенной проблемой делителей Дирихле. Эта асимптотическая формула имеет вид Dk(x) = xPk−1(log x) + O(xαk+ε), где Pk−1(x) — многочлен степени k − 1, 0 < αk < 1, ε > 0 — сколь угодно малое число. Обобщенная проблема делителей Дирихле имеет богатую историю. В 1849 Л. Дирихле [1] доказал, что αk 6 1 − 1 k , k > 2. В 1903 году Г.Ф. Вороной [2] доказал, что (см. также [3]) αk 6 1 − 1 k + 1 , k > 2. В 1922 году Г. Харди и Д. Литтлвуд [4] доказал, что αk 6 1 − 3 k + 2 , k > 4. В 1979 году. Р. Хис-Браун [5] доказал, что αk 6 1 − 3 k , k > 8. В 1972 году замечательный результат получил А. А. Карацуба [6]. Его оценка остаточного члена асимптотической формулы имеет вид O(x1− c k2/3 (c1 log x)k), где c > 0, c1 > 0 — абсолютные постоянные. Эта оценка равномерна по 2 6 k 6 log x. Пусть N0 — класс множества натуральных чисел, двоичного разложения которых содержат четное число единиц. В 1991 автор [8] решил проблему делителей Дирихле в числах из множества N0 и получил формулу X n6X n∈N0 τ (n) = 1 2 X n6X  τ (n) + O(Xω ln2 X),  где τ (n) — число делителей n, ω = 1 2