Значения гипергеометрических 𝐹-рядов в полиадических лиувиллевых точках

Аннотация

В настоящей работе доказывается бесконечная алгебраическая независимость значений гипергеометрических 𝐹 – рядов в полиадических лиувиллевых точках. Гипергеометрическая функция – это функция вида

$$Σ︁𝑛=0((𝛼1)𝑛 · · · (𝛼𝑟)𝑛/((𝛽1)𝑛 . . . (𝛽𝑠)𝑛 𝑛!)𝑧^𝑛, |𝑧| < 1$$.

𝐹 – ряд – это ряд вида 𝑓𝑛 = Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!𝑧^𝑛, коэффициенты которого 𝑎𝑛 удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле Q𝑝 – 𝑝 – адических чисел и их алгебрических расширений K𝑣. Полиадическое число – это ряд вида Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z. Лиувиллево число – это вещественное число 𝑥 такое, что для всех положительных целых чисел 𝑛 существует бесконечное число пар целых чисел (𝑝, 𝑞), 𝑞 > 1 таких, что 0 <|𝑥 − 𝑝/𝑞|< 1/𝑞^𝑛 . Полиадическое лиувиллево число 𝛼 обладает тем свойством, что для любых чисел 𝑃,𝐷 существует целое число |𝐴| такое, что для всех простых чисел 𝑝 ≤ 𝑃
выполняется неравенство |𝛼 − 𝐴|𝑝 < 𝐴^(−𝐷).