аспирант
graduate student
В настоящей работе доказывается бесконечная алгебраическая независимость значений гипергеометрических 𝐹 – рядов в полиадических лиувиллевых точках. Гипергеометрическая функция – это функция вида
$$Σ︁𝑛=0((𝛼1)𝑛 · · · (𝛼𝑟)𝑛/((𝛽1)𝑛 . . . (𝛽𝑠)𝑛 𝑛!)𝑧^𝑛, |𝑧| < 1$$.
𝐹 – ряд – это ряд вида 𝑓𝑛 = Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!𝑧^𝑛, коэффициенты которого 𝑎𝑛 удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле Q𝑝 – 𝑝 – адических чисел и их алгебрических расширений K𝑣. Полиадическое число – это ряд вида Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z. Лиувиллево число – это вещественное число 𝑥 такое, что для всех положительных целых чисел 𝑛 существует бесконечное число пар целых чисел (𝑝, 𝑞), 𝑞 > 1 таких, что 0 <|𝑥 − 𝑝/𝑞|< 1/𝑞^𝑛 . Полиадическое лиувиллево число 𝛼 обладает тем свойством, что для любых чисел 𝑃,𝐷 существует целое число |𝐴| такое, что для всех простых чисел 𝑝 ≤ 𝑃выполняется неравенство |𝛼 − 𝐴|𝑝 < 𝐴^(−𝐷).
This paper proves infinite algebraic independence of the values of hypergeometric 𝐹 – series at polyadic Liouville points. Hypergeometric functions are defined for |𝑧| < 1 by the power series:
$$Σ︁𝑛=0((𝛼1)𝑛 · · · (𝛼𝑟)𝑛)/((𝛽1)𝑛 . . . (𝛽𝑠)𝑛 𝑛!)𝑧^𝑛$$.
𝐹 – series have form 𝑓𝑛 = Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!𝑧^𝑛 whose coefficients 𝑎𝑛 satisfy some arithmetic properties.These series converge in the field Q𝑝 of 𝑝 – adic numbers and their algebraic extensions K𝑣. Polyadic number is a series of the form Σ︀∞𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z. Liouville number is a real number xwith the property that, for every positive integer n, there exist infinitely many pairs of integers (𝑝, 𝑞) with 𝑞 > 1 such that 0 <|𝑥 − 𝑝/𝑞| < 1/𝑞^𝑛 . The polyadic Liouville number 𝛼 has the property that for any numbers 𝑃,𝐷 there exists an integer |𝐴| such that for all primes 𝑝 ≤ 𝑃 the inequality |𝛼 − 𝐴|𝑝 < 𝐴^(-𝐷).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.