Обобщенные разбиения Рози и линейные рекуррентные последовательности

Аннотация

Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (𝛽−1, 𝛽−2), где 𝛽 – действительный корень уравнения 𝛽3 = 𝛽2 + 𝛽 + 1, и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози и нашло многочисленные применения в комбинаторике слов, геометрии, теории динамических систем и теории чисел.
Позднее была введена бесконечная последовательность разбиений 𝑑 − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени 𝑑, на фрактальные множества 𝑑 типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Эти разбиения оказались тесно связанными с некоторыми иррациональными сдвигами тора и позволили построить новые примеры множеств ограниченного
остатка для этих сдвигов, а также получить результаты о самоподобии орбит сдвигов.
В настоящей работе продолжается изучение обобщенных разбиений Рози, связанных с числами Пизо. Предложен новый подход к определению фракталов и разбиений Рози на основе разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.
Это позволило улучшить результаты о связи разбиений Рози и множеств ограниченного остатка, показав, что соответствующая оценка остаточного члена не зависит от номера разбиения.
Доказана теорема геометризации, показывающая, что натуральное число имеет заданное окончание жадного разложения по линейной рекуррентной последовательности тогда и только тогда, когда соответствующая точка орбиты сдвига тора попадает в некоторое множество, являющееся объединением тайлов разбиения Рози. Получен ряд теоретико-числовых приложений этого результата.
В заключении сформулирован ряд открытых проблем, связанных с обобщенными разбиениями Рози.