Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Обобщенные разбиения Рози и линейные рекуррентные последовательности

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-313-333

Полный текст:

Аннотация

Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (𝛽−1, 𝛽−2), где 𝛽 – действительный корень уравнения 𝛽3 = 𝛽2 + 𝛽 + 1, и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози и нашло многочисленные применения в комбинаторике слов, геометрии, теории динамических систем и теории чисел.
Позднее была введена бесконечная последовательность разбиений 𝑑 − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени 𝑑, на фрактальные множества 𝑑 типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Эти разбиения оказались тесно связанными с некоторыми иррациональными сдвигами тора и позволили построить новые примеры множеств ограниченного
остатка для этих сдвигов, а также получить результаты о самоподобии орбит сдвигов.
В настоящей работе продолжается изучение обобщенных разбиений Рози, связанных с числами Пизо. Предложен новый подход к определению фракталов и разбиений Рози на основе разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.
Это позволило улучшить результаты о связи разбиений Рози и множеств ограниченного остатка, показав, что соответствующая оценка остаточного члена не зависит от номера разбиения.
Доказана теорема геометризации, показывающая, что натуральное число имеет заданное окончание жадного разложения по линейной рекуррентной последовательности тогда и только тогда, когда соответствующая точка орбиты сдвига тора попадает в некоторое множество, являющееся объединением тайлов разбиения Рози. Получен ряд теоретико-числовых приложений этого результата.
В заключении сформулирован ряд открытых проблем, связанных с обобщенными разбиениями Рози.

Об авторе

Антон Владимирович Шутов
Хабаровское отделение института прикладной математики ДВО РАН
Россия

кандидат физико-математических наук



Список литературы

1. Rauzy G. Nombres alge′briques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. Vol. 110. P. 147–178.

2. Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Springer. 2001.

3. Combinatorics, Automata and Number Theory. Edited by V. Berthe, M. Rigo. Cambridge University Press, 2010.

4. Siegel A., Thuswaldner J. Topological properties of Rauzy fractals. Memoires de la SMF. Vol. 118. 2009.

5. Shutov A. V., Maleev A. V. Generalized Rauzy fractals and quasiperiodic tilings // Classification and Application of Fractals: New Reserch. Nova Publishers. 2012. P. 55–111.

6. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83–106.

7. Шутов А. В. Обобщенные разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 3. С. 372–389.

8. Thurston W.P. Groups, Tilings, and Finite State Automata. (Am. Math. Soc., Colloq. Lect.). Providence, RI: Am. Math. Soc. 1989.

9. Akiyama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // Number Theory and its Applications. Kanemitsu: Kluwer. 1999. P. 7–17.

10. Akiyama S., Barat G., Berthe V., Siegel A. Boundary of central tiles associated with Pisot beta-numeration and purely periodic expansions // Monatshefte fur Mathematik. 2008. Vol.

11. , № 3. P. 377–419.

12. Akiyama S. On the boundary of self-affine tilings generated by Pisot numbers // Journal of Math. Soc. Japan. 2002. Vol. 54, № 2. P. 283–308.

13. Akiyama S. Pisot number system and its dual tiling // Physics and Theoretical Computer Science. IOS Press. 2007. P. 133–154.

14. Berthe V., Siegel A. Tilings associated with beta-numeration and substitution // Integers: Electronic journal of combinatorial number theory. 2005. Vol. 5, № 3. ♯A02.

15. Hubert P., Messaoudi A. Best simultaneous diophantine approximation of Pisot numbers and Rauzy fractals // Acta Arithmetica. 2006. Vol. 124, № 1. P. 1—15.

16. Frougny C., Solomyak B. Finite beta-expansions // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1992. Vol. 12, № 4. P. 713-–723.

17. Parry W. On the 𝛽-expansions of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1960. Vol. 11, № 3. P. 401–416.

18. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1957. Vol. 8, № 3. P. 477–493.

19. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. Vol. 5. P. 54–76.

20. Grepstad S., Lev N. Sets of bounded discrepancy for multi-dimensional irrational rotation // Geometric and Functional Analysis. 2015. Vol. 25, № 1. P. 87–133.

21. Журавлев В. Г. Множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. 2016. Т. 445. С. 585-–640.

22. Шутов А. В. Подстановки и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, Вып. 2. С. 501–522.

23. Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 3. С. 18–46.

24. Давлетярова Е. П., Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация системы счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, № 6. С. 1–23.

25. Давлетярова Е. П., Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация обобщенных систем счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, Вып. 2. С. 88–112.

26. Akiyama S., Gjini N. // Connectedness of number theoretic tilings // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2005. Vol. 7, № 1. P. 269–312.

27. Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. 1916. Vol. 77, № 3. P. 313-–352.

28. Vinogradow I. M. Some theorems concerning the theory of primes // Математический сборник. 1937. Т. 44, № 2. С. 179-–195.

29. Шутов А. В. Фракталы Рози и их теоретико-числовые приложения // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т. 166. С. 110-–119.

30. Dumont J.-M., Thomas A. Systemes de numeration et fonctions fractales relatifs aux substitutions // Theoretical computer science. 1989. Vol. 65, № 2. P. 153–169.

31. Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация систем счисления // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, Вып. 4. С. 222—245.

32. Ito S., Ohtsuki M. Modified Jacobi-Perron Algorithm and Generating Markov Partitions for Special Hyperbolic Toral Automorphisms // Tokio Journal Mathematics. 1993. Vol. 16, № 2. P. 441-472.

33. Berthe V., Bourdon J., Jolivet T., Siegel A. A combinatorial approach to products of Pisot substitutions // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 2016. Vol. 36, № 6. P. 1757–1794.


Для цитирования:


Шутов А.В. Обобщенные разбиения Рози и линейные рекуррентные последовательности. Чебышевский сборник. 2021;22(2):313-333. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-313-333

For citation:


Shutov A.V. Generalized Rauzy tilings and linear recurrence sequences. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):313-333. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-313-333

Просмотров: 92


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)