Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-304-312
Аннотация
В статье исследуется бесконечная линейная независимость полиадических чисел
$$𝑓0(𝜆) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆)𝑛𝜆𝑛, 𝑓1(𝜆) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆 + 1)𝑛𝜆𝑛$$,
где 𝜆 представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (𝛾)𝑛 , по определению, (𝛾)0 = 1 , а при 𝑛 ≥ 1 имеем (𝛾)𝑛 = 𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Q𝑝 . Результат является непосредственным продолжением проведенного автором исследования арифметических свойств полиадических чисел
$$𝑓0(1) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆)𝑛, 𝑓1(1) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆 + 1)𝑛$$,
Значения обобщенных гипергеометрических рядов являются объектом исследования многочисленных работ. Если параметры рядов представляют собой рациональные числа, то такие ряды входят либо в класс 𝐸− функций( если эти ряды - целые функции), либо в класс 𝐺− функций (если они имеют конечный ненулевой радиус сходимости),либо в класс
𝐹− рядов ( в случае нулевого радиуса сходимости в поле комплексных чисел, однако при этом они сходятся в полях 𝑝− адических чисел). Во всех перечисленных случаях применим
метод Зигеля-Шидловского и его обобщения. Если среди параметров рядов содержатся алгебраические иррациональные числа, то исследование их арифметических свойств ведется на основе приближений Эрмита-Паде.
В рассматриваемом случае параметр - трансцендентное число. Следует отметить, что ранее А.И. Галочкин доказал алгебраическую независимость значений 𝐸−функций в точ-
ке, представляющей собой действительное число Лиувилля. Упомянем также поданные в печать работы Е.Ю. Юденковой о значениях 𝐹−рядов в полиадических лиувиллевых
точках. Особенно отметим, что в этой работе рассматриваются значения в полиадической
трансцендентной точке гипергеометрических рядов, параметр которых - полиадическое трансцендентное (лиувиллево) число.
Об авторе
Владимир Григорьевич Чирский
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Российская академия народного хозяйства
и государственной службы
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский перевод:[3] Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruyter.-Berlin.-New York.-1989.- 467pp.).
2. Салихов В. Х. Критерий алгебраической независимости одного класса гипергеометрических 𝐸 – функций. // Матем. сб. -1990.-т.181.-№2.-с.189-211.
3. Салихов В. Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений 𝐸 – функций. // Acta Arithm.-1990.-v.53.- p.453-471.
4. Beukers F., Brownawell W. D., Heckman G. Siegel normality // Ann.Math.-1988.-Ser.127.- p.279-308.
5. Chudnovsky G. V. On application of Diophantine approximations // Proc.Natl.Acad.Sci.USA.- 1985.-V.81.-p.7261-7265.
6. Bombieri E. On 𝐺-functions // Recent Progress in Analytic Number Theory.v.2. London: Academic Press, 1981.-p.1-68.
7. Bertrand D., Chiskii V., Yebbou J.. Effective estimates for global relations on Euler-type series. // Ann. Fac. Sci. Toulouse, v.13,no.2,2004,pp.241-260.
8. Матвеев В. Ю., Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов, Чебышевский сборник,том 17, выпуск 3,с. 156 – 167
9. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. // Доклады Академии наук, сер. матем.т.459, no. 6, 677-678.( Английский
10. перевод Chiskii V. G., Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients. Dokl. Math. 90(3), pp. 766–768(2014))
11. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических F-рядов. // Доклады Академии наук, сер. матем.т.483, no. 3, 257-258.( Английский перевод V.G.
12. Chiskii, Arithmetic properties of generalized hypergeometric 𝐹– series. Dokl. Math. 98:3, 589– 591 (2018).)
13. Matala-aho T., Zudilin W., Euler factorial series and global relations, J. Number Theory 186 (2018), 202-210.
14. Ernvall-Hytonen A. M., Matala-aho T., Seppela L., Euler’s divergent series in arithmetic progressions. // arXiv:1809.03859v1math.NT11 Sep 2018.
15. Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers. // Russ. J. Math. Phys. 2019.- v.26, no.3, pp.286-305.
16. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric 𝐹– series. // Russ. J. Math. Phys. 2020.- v.27, no.2, pp.175-184.
17. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром. // Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.т.494, с.
18. -70.( Английский перевод Chiskii V. G., Arithmetic Properties of Euler-Type Series with a Liouvillean Polyadic Parameter. Dokl. Math. 2020.-v.102,no.2. pp.412-413.)
19. Галочкин А. И. Об алгебраической независимости значений E-функций в некоторых трансцендентных точках. // Вестник МГУ. Сер.1, матем.,механ.-1970.-no.5.С.58-63.(Английский перевод A.I. Galochkin.The algebraic independence of values of E-functions at certain transcendental points. // Mosc. Univ. Math. Bull. 25.-n0.5.-pp.41-45)
20. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций. // Матем. сб.-1994.-т.185.-no.3.-с.39-72.(Англий перевод Nesterenko Yu. V.. Hermite-Pade approximants of generalized hypergeometric functions. // Russ.Acad.Sci.Sb.Math. -1995.- 83.-189-219)
Рецензия
Для цитирования:
Чирский В.Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром. Чебышевский сборник. 2021;22(2):304-312. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-304-312
For citation:
Chirskii V.G. Arithmetic properties of values at polyadic Liouville points of Euler-type series with polyadic Liouville parameter. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):304-312. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-304-312
Просмотров: 213
Послать статью по эл. почте 