Об аналоге задачи Гельфонда для обобщенных разложений Цеккендорфа
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-104-120
Аннотация
Гельфонд доказал что при условии взаимной простоты 𝑏 − 1 и 𝑑 суммы цифр разложений натуральных чисел в 𝑏-ичную систему счисления равномерно распределены по
арифметическим прогрессиям с разностью 𝑑. Позднее аналогичный результат был получен для разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.
Мы рассматриваем вопрос об остаточном члене в соответствующей асимптотике и изучаем дихотомию между логарифмической и степенной оценкой остаточного члена. В случае 𝑑 = 2 получены некоторые достаточные условия справедливости логарифмической оценки. С их помощью показано, что логарифмическая оценка имеет место для разложений по всем рекуррентным последовательностям порядка 2 и бесконечному семейству последовательностей порядка 3, а также строим пример линейной рекуррентной последовательности произвольного порядка с таким свойством. С другой стороны, мы приводим пример линейной рекуррентной последовательности третьего порядка, для которой логарифмическая оценка не имеет места. Также нами показано, что для 𝑑 = 3 логарифмическая
оценка не имеет места уже в простейшем случае разложений по числам Фибоначчи.
Кроме того, мы рассматриваем разложения натуральных чисел по знаменателям подходящих дробей к произвольному иррациональному числу. В этом случае нами доказана равномерность распределения сумм цифр по арифметическим прогрессиям с разностью 2 с логарифмическим остаточным членом.
Об авторах
Алла Адольфовна Жукова
Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Владимирский филиал
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент
Антон Владимирович Шутов
Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Dumont J.-M., Thomas A. Systemes de numeration et fonctions fractales relatifs aux substitutions // Theoretical computer science. 1989. Vol. 65, №2. P. 153-169.
2. Dumont J.-M., Thomas A. Gaussian asymptotic properties of the sum-of-digits function // J. Number Theory. 1997. Vol. 62. P. 19–38.
3. Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees // Acta Aithmetica. 1968. Vol. 13. P. 259-265.
4. Zeckendorf E. Representation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas // Bull. Soc. R. Sci. Liege. 1972. Vol. 41. P. 179-182.
5. Drmota M., Ska lba M. The Parity of the Zeckendorf Sum-of-Digits-Function // Manuscripta mathematica. 2000. Vol. 101. P. 361–383.
6. Drmota M., Gajdosik J. The Parity of the Sum-of-Digits-Function of Generalized Zeckendorf Representations // Fibonacci Quarterly. 1998. Vol. 36, №1. P. 3-19.
7. Khinchin A.Ya. Zur metrischen Kettenbruchtheorie // Compositio Matlzematica. 1936. Vol. 3, №2. P. 275–285.
8. Lamberger M., Thuswaldner J. W. Distribution properties of digital expansions arising from linear recurrences // Mathematica Slovaca. 2003. Vol. 53, №1. P. 1-20.
9. Madritsch M. G., Thuswaldner J. M. The level of distribution of the sum-of-digits function of linear recurrence number systems // Cornell University. 2019. Arxiv.1909.08499.
10. Mauduit C., Rivat J. Sur un probl`eme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers // Annals of Mathematics. 2010. Vol. 171, №3. P. 1591-1646.
11. Ostrowski V. A. Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 1922. Vol. 1. P. 77-98.
12. Parry W. On the 𝛽-expansion of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1960. Vol. 11. P. 401-416.
13. Shutov A. V. On sum of digits of the Zeckendorf representations of two consecutive numbers // Fibonacci quarterly. 2020 (accepted)
14. Карацуба А. А., Новак Б. Арифметические задачи с числами специального вида // Матем. заметки. 1999. Т. 66, №2. С. 314–317.
15. Науменко А. П. О числе решений некоторых диофантовых уравнений в натуральных числах с заданными свойствами двоичных разложений // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, №1. С. 140–157.
16. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 1 М.: Мир, 1990.
17. Эминян К. М. Об одной бинарной задаче // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №4. С. 634–637.
18. Эминян К. М. О представлении чисел с заданными свойствами двоичного разложения суммами двух квадратов // Тр. МИАН. 1994. Т. 207. М.: Наука. С. 377–382.
19. Эминян К. М. О средних значениях функции 𝜏𝑘(𝑛) в некоторых последовательностях натуральных чисел // Матем. заметки. 2011. Т. 90, №3. С. 439-447.
Рецензия
Для цитирования:
Жукова А.А., Шутов А.В. Об аналоге задачи Гельфонда для обобщенных разложений Цеккендорфа. Чебышевский сборник. 2021;22(2):104-120. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-104-120
For citation:
Zhukova A.A., Shutov A.V. On Gelfond-type problem for generalized Zeckendorf representations. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(2):104-120. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-104-120
Просмотров:
332
Послать статью по эл. почте 