Об алгебраических тождествах между фундаментальными матрицами обобщённых гипергеометрических уравнений

Аннотация

В настоящей работе получены примеры алгебраических тождеств между фундаментальными
матрицами обобщённых гипергеометрических уравнений. В некоторых случаях эти тождества
порождают все алгебраические соотношения между компонентами решений
гипергеометрических уравнений.

Обобщённые гипергеометрические функции (см. [1-5]) - это функции вида
$$
{}_l\varphi_{q}(z)={}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)=
{}_{l+1}F_{q}\left(\left.{1,\nu_1,\dots,\nu_l\atop\lambda_1,\dots,\lambda_q}\right|z\right)=
\sum_{n=0}^\infty \frac{(\nu_1)_n\dots (\nu_l)_n}{(\lambda_1)_n
\dots(\lambda_{q})_n} z^n,
$$
где $0\leqslant l\leqslant q$, $\; (\nu)_0=1, \; (\nu)_n=\nu(\nu+1)\dots (\nu+n-1)$,
$\;\vec\nu=(\nu_1,\dots,\nu_l)\in {\mathbb C}^l$, $\;\vec \lambda\in
({\mathbb C}\setminus{\mathbb Z^-})^q$.

Функция ${}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)$ удовлетворяет
(обобщённому) гипергеометрическому дифференциальному уравнению
$$
{L}(\vec \nu;\vec\lambda;z)\;y =(\lambda_1-1)\dots(\lambda_q-1),
$$
где
$$
{L}(\vec \nu;\vec\lambda;z)
\equiv \left( \prod_{j=1}^q(\delta+\lambda_j-1)-
z\prod_{k=1}^l(\delta+\nu_k) \right),\label{d1122} \quad \delta=z\frac{d}{dz}.
$$

В теории трансцендентных чисел одним из основных методов является
метод Зигеля-Шидловского (см. [4], [5]), который
позволяет доказывать трансцендентность и алгебраическую независимость
значений целых функций некоторого класса, включающего в себя
функции ${}_l\varphi_{q}(\alpha z^{q-l})$, при условии
алгебраической независимости этих функций над ${\mathbb C}(z)$.

В статье [6] Ф. Бейкерсом, В. Браунвеллом и Г. Хекманом были
введены важные для установления алгебраической зависимости и
независимости функций понятия коградиентности и контрградиентности
дифференциальных уравнений (фактически эти понятия возникли ранее
в статье Е. Колчина [7]).

Настоящая работа посвящена подробному доказательству и дальнейшему
развитию результатов о коградиентности и контрградиентности,
опубликованных в заметках [8] и [9]. В частности, уточняются
некоторые результаты статьи [6].