О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА НА МНОЖЕСТВАХ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА

Множества ограниченного остатка представляют собой множества, для которых остаточный член многомерной проблемы распределения дробных долей линейной функции ограничен константой, не зависящей от числа точек. Такие множества впервые были введены Гекке и далее рассматривались Эрдешем, Кестеном, Фюрстенбергом, Петерсеном, Сюсом, Лиарде и другими математиками. В настоящее время в одномерном случае известно полное описание интервалов ограниченного остатка, а также точные оценки остаточного члена в случае таких интервалов. Также получен ряд более тонких результатов, включая точные формулы для максимума и минимума остаточного члена, описание остаточного члена как кусочно-линейной функции, немонотонные оценки, вычисление среднего значения, а также оценки скорости достижения точных границ и т.д. В случае высших размерностей в настоящее время известны лишь отдельные примеры множеств ограниченного остатка. В частности, в последние годы В. Г. Журавлевым, А. В. Шутовым и А. А. Абросимовой были предложены новые конструкции семейств многомерных множеств ограниченного остатка, основанные на использовании перекладывающихся разбиений тора. Для введенных множеств удалось не только доказать ограниченность остаточного члена, но и вычислить его максимум, минимум, а также среднее значение. В настоящей работе исследуется более тонкая характеристика остаточного члена на множествах ограниченного остатка, связанных с перекладывающимися разбиениями тора: его функция распределения. Показано, что распределение остаточного члена является равномерным только в случае размерности 1. Найден алгоритм вычисления нормированной функции распределения и доказан ряд структурных результатов об этой функции. В случае ряда двумерных множеств ограниченного остатка соответствующая нормированная функция распределения вычислена в явном виде.

1. Bohl P. ¨Uber ein in der Theorie der s¨akutaren St¨orungen vorkommendes Problem // J. Reine Angew. Math. 1909. №135. P. 189–283.

2. Day Bradley A. Prismatoid, Prismoid, Generalized Prismoid // The American Math. Monthly. 1979. №86. P. 486–490.

3. Erd¨os P. Problems and results on diophantine approximations. // Compositio Math. 1964. №16. P. 52–65.

4. Furstenberg H., Keynes M., Shapiro L. Prime flows in topological dynamics // Israel J. Math. 1973. V. 14. P. 26–38.

5. Grepstad S., Lev N. Sets of bounded discrepancy for multi-dimensional irrational rotation // Geometric and Functional Analysis. 2015. V. 25, Issue 1. P. 87–133.

6. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. №5. P. 54–76.

7. Heynes A., Koivusalo H. Constructing bounded remainder sets and cut-and-project sets which are bounded distance to lattices // Israel J. Math (in press), http://arxiv.org/abs/1402.2125.

8. Kelly M., Sadun L. Patterns equivariant cohomology and theorems of Kesten and Oren // Bull. London Math. Soc. 2015. V. 47 (1). P. 13–20.

9. Kesten H. On a conjecture of Erd¨os and Sz¨usz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. №12. P. 193–212.

10. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. 1987. V. 61. P. 267–293.

11. Petersen K. On a series of cosecants related to a problem in ergodic theory // Compositio Math. 1973. V. 26. P. 313–317.

12. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 147–148.

13. Sierpinski W. Sur la valeur asymptotique d’une certaine somme // Bull Intl. Acad. Polonmaisedes Sci. et des Lettres (Cracovie) series A. 1910. P. 9–11.

14. Sz¨usz R. ¨Uber die Verteilung der Vielfachen einer Komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1954. V. 5. P. 35–39.

15. Weyl H. ¨Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzph¨anomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. 1910. №30. P. 377–407.

16. Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann. 1916. V. 77, №3. P. 313–352.

17. Абросимова А.А. BR-множества // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16. С. 8–22.

18. Абросимова А.А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 15–23.

19. Абросимова А.А. Средние значения отклонений для распределения точек на торе // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2012. Т. 5 (124), вып. 26. С. 5–11.

20. Журавлев В.Г. Геометризация теоремы Гекке // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, вып. 1. С. 125–144.

21. Журавлев В.Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных долей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, вып. 1. С. 1–33.

22. Журавлев В.Г. Многогранники ограниченного остатка // Труды математического института имени В.А. Стеклова. Современные проблемы математики. 2012. Вып. 16. C. 82–102.

23. Журавлев В.Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Аналитическая теория чисел и теория функций. Зап. научн. сем. ПОМИ. СПб.: ПОМИ, 2011. Т. 26 (392). С. 95–145.

24. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. 2011. Т. 89 (1). С. 43–52.

25. Шутов А.В. Двумерная проблема Гекке–Кестена // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 2 (38). С. 151–162.

26. Шутов А.В. Многомерные обобщения сумм дробных долей и их теоретико-числовые приложения // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 1 (45). С. 104–118.

27. Шутов А.В. О минимальных системах счисления // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Саратов. 2007. Вып. 4. С. 125– 138.

28. Шутов А.В. О скорости достижения точных границ остаточного члена в проблеме Гекке–Кестена // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 2 (46). С. 173–179.

29. Шутов А.В. Об одном семействе двумерных множеств ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 264–271.

30. Шутов А.В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. Т. 7 (57). С. 168–175.

31. Шутов А.В. Распределение дробных долей линейной функции на множествах положительной коразмерности // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. Белгород: Изд-во НИУ "Белгу", 2013. Вып. 32. №19 (162). С. 134–143.