О линейной независимости значений некоторых гипергеометрических функций над мнимым квадратичным полем

Аннотация

Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными
параметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых коэффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличением
числа этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использование известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомянутого исследования. Применение названного метода предполагает использование принципа
Дирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построение является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечном
итоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принцип
Дирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодолимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшего
знаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случае
функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построение
линейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании совместных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами с
алгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффициентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины.
Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточнение осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнитель-
но используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии.
В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения совместных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных.
Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти приближения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Все
это позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указанной
функции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.