Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Об оценке меры иррациональности $\arctg\frac{1}{2}$

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-4-58-68

Полный текст:

Аннотация

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции $$\arctg x.$$

Для получения оценок показателя иррациональности значений $$\arctg x$$ многими авторами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г., доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|\varepsilon x^k\right), k\in\mathbb N, k\geq 2, \varepsilon=\pm 1.$$ Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена в которых также был построен метод, позволявший получать оценки показателя иррациональности для значений $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|z\right), k\in \mathbb N, k\geq 2,$$ в том числе для $$F_2^1\left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}|-z^2\right)=\frac {1}{z}\arctg z.$$ Рассмотренный ими подход использовал приближение гипергеометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов.

В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены параметров. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметричности, был применён в работе В. Х. Салихова и позволил получить новую оценку показателя иррациональности для $$\ln 3.$$ Чуть позже В. Х. Салихов, применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррациональности числа $$\pi.$$ В этой работе было использовано классическое равенство $$\frac{\pi}{4}=\arctg \frac{1}{2}+\arctg \frac{1}{3}.$$ Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в работе Е. Б. Томашевской были оценены значения вида $$\arctg \frac{1}{n}, n\in\mathbb N, n>2,$$ и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской был разработан аналогичный интеграл для оценки $$\arctg\frac{1}{2},$$ который позволил доказать результат $$\mu(\arctg \frac{1}{2})\leq 11.7116...,$$ остававшийся лучшим до настоящего времени.

В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг немного улучшили результат В. Х. Салихова для $$\ln 3,$$ рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. Ву и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Томашевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа $$\arctg\frac{1}{2}.$$

Об авторах

Мария Геннадьевна Башмакова
Брянский государственный технический университет.
Россия
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей математики, Брянский государственный технический университет.


Владислав Хасанович Салихов
Брянский государственный технический университет.
Россия
Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры Высшей математики, Брянский государственный технический университет.


Список литературы

1. Huttner M. Irrationalit´ e de certaines int´ egrales hyperg´ eom´ etriques // J. Number Theory. 1987. Vol. 26. P. 166-178.

2. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.

3. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50, № 2. P. 225-243.

4. Салихов В. Х. О мере иррациональности ln3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417, № 6. С. 753-755.

5. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log2 и других логарифмов //Математические заметки. 2008. Т.83. №~3. С. 428-438.

6. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями // Математические заметки. 2010. Т.88, №6. С. 785-797.

7. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа π // Успехи математических наук. 2008. Том 63, № 3. С. 163-164.

8. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа ln5+ π/2 и некоторых других чисел // Чебышевский сборник. 2007.Том 8. №2. С. 97-108.

9. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. 2009. 99 с.

10. Wu Q., Wang L. On the irrationality measure of log3 // Journal of number theory. 2014. №142. С. 264-273.

11. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for ln2 // Acta Aritm. 2009. Vol. 139.2. P. 147-184.

12. Андросенко В. А., Салихов В. Х.Симметризованная версия интеграла Марковеккио в теории диофантовых приближений // Матем. заметки. 2015.Том 97, №4, С. 483 – 492.

13. Андросенко В. А. Мера иррациональности числа $frac{pi}{sqrt3}$ // Изв. РАН. Серия математическая. 2015. Том 79, №1, С. 3 – 20.

14. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335-347.

15. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers// Math. Of computation. 2002. Vol. 72, №242. Р. 901-911.


Для цитирования:


Башмакова М.Г., Салихов В.Х. Об оценке меры иррациональности $\arctg\frac{1}{2}$. Чебышевский сборник. 2019;20(4):58-68. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-4-58-68

For citation:


Bashmakova M.G., Salikhov V.K. On irrationality measure $\arctg\frac{1}{2}$. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(4):58-68. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-4-58-68

Просмотров: 83


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)