Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Внешние биллиарды вне правильного десятиугольника: периодичность почти всех орбит и существование апериодической орбиты

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-406-441

Полный текст:

Аннотация

Внешние биллиарды были введены Б. Нойманном в 50-х годах ХХ века и стали популярны в 70-х благодаря Ю. Мозеру, который рассматривал внешний, или двойственный, биллиард как игрушечную модель небесной механики. Задача об устойчивости Солнечной системы обладает тем свойством, что "легко выписать n уравнений движения частиц, но сложно понять это движение интуитивно"; в связи с этим, Мозер предложил рассмотреть ранее поставленную Б. Нойманном задачу внешнего биллиарда, обладающую тем же свойством.
Одним из классических примеров динамической систем является внешний биллиард вне правильного ????-угольника; в частности, с ним связаны проблемы существования апериодической траектории, а также полноты периодических точек. Эти проблемы решены лишь для ограниченного количества частных случаев.
При ???? = 3, 4, 6 стол является решеточным, и, как следствие, апериодических точек нет, а периодические точки образуют множество полной меры. В 1993 году, С. Табачникову удалось найти апериодическую точку в случае правильного пятиугольника; сделано это было с помощью ренормализационной схемы - метода, имеющего фундаментальное значение при исследовании самоподобных динамических систем.
По мнению Р. Шварца, следующими по сложности являются случаи n = 10,8,12; в этих случаях, а также в случае ???? = 5 для внешнего биллиарда удается построить ренормализационную схему, которая, как пишет Шварц, “позволяет дать (как минимум, в принципе) полное описание того, что происходит”.
Позже, автору удалось обнаружить самоподобные структуры и построить ренормализационную схему для случаев правильных восьми- и двенадцатиугольника.
Данная же статья посвящена внешнему биллиарду вне правильного десятиугольника. Доказано существование апериодической орбиты для внешнего биллиарда вне правильного десятиугольника, а также, что почти все траектории такого внешнего биллиарда являются периодическими; явно выписаны все возможные периоды. В основе работы лежит классическая технология поиска и исследования ренормализационной схемы. Возникающие в случае ???? = 10 периодические структуры похожи на периодические структуры в случае ???? = 5, но все же имеют свои особенности.

Список литературы

1. Rukhovich F. Outer billiards outside a regular octagon: periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic orbit. // Doklady Mathematics, 2018, Vol. 98, Issue 1, pp. 334–337.

2. Rukhovich F. Outer billiards outside regular dodecagon: computer proof of periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point. // arXiv:1809.03791, 2018

3. Табачников С. Внешние биллиарды // Успехи математических наук, 1993. T. 48. Вып. 6(294). С. 75–102.

4. Moser J. Is the solar system stable? // Math. Intell., 1978, Vol. 1. P. 65–71.

5. Schwartz, R. E. Outer billiards on kites // Annals of Mathematics Studies — Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009. Vol. 171.

6. Dolgopyat, D., Fayad, B. Unbounded orbits for semicircular outer billiard // Ann. Henri Poincare, 2009. Vol. 10, issue 2. P. 357–375.

7. Bedaride, N., Cassaigne, J. Outer billiards outside regular regular polygons // Journal of the London Mathematical Society, 2011.

8. Tabachnikov, S. Geometry and Billiards // Student Mathematical Library — American Mathematical Society, Providence, RI, 2005. Vol. 30.

9. Tabachnikov, S. On the dual billiard problem // Adv. Math, 1995. Vol. 115, № 2. P. 221–249.

10. Bedaride, N., Cassaigne, J. Outer billiards outside regular regular polygons // eprint arXiv:0912.0563, 2011.

11. Schwartz, R. E. Outer Billiards, Arithmetic Graph and the Octagon // eprint arXiv:1006.2782, 2010.

12. Schwartz, R. E. The octagonal PETs // Mathematical Surveys and Monographs — American Mathematical Society, Providence, RI, 2014. Vol. 197.

13. N. Pytheas Fogg. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics // Lecture Notes in Mathematics. Edited by V. Berth’e, S. Ferenczi, C. Mauduit and A. Siegel. — Springer-Verlag, Berlin, 2002. Vol. 1794.

14. Shaidenko. A, Vivaldi F. Global stability of a class of discontinuous dual billiards // Comm. Math. Phys., 1987. Vol. 110. P. 625—640.

15. Kolodziej, R. The antibilliard outside a polygon // Bull. Pol. Acad. Sci., 1989. Vol. 37. P. 163–168.

16. Gutkin, E., Simanyi, N. Dual polygonal billiards and necklace dynamics // Comm. Math. Phys., 1991. Vol. 143. P. 431—450.

17. Jeong, I.J. Outer billiards with contraction: regular polygons. // Dynamical Systems, 2015. Vol. 33, № 4. P. 565–580; DOI: 10.1080/14689367.2017.1402295


Для цитирования:


Рухович Ф.Д. Внешние биллиарды вне правильного десятиугольника: периодичность почти всех орбит и существование апериодической орбиты. Чебышевский сборник. 2019;20(2):406-441. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-406-441

For citation:


Rukhovich F.D. Outer billiards outside regular decagon: periodicity of almost all orbits and existence of aperiodic orbit. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(2):406-441. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-406-441

Просмотров: 33


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)