Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О значениях гипергеометрической функции с параметром из квадратичного поля

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-178-185

Полный текст:

Аннотация

Для исследования арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций с рациональными параметрами обычно применяют метод Зигеля. Этим методом были получены наиболее общие результаты, относящиеся к упомянутым свойствам.
Основной недостаток метода Зигеля состоит в невозможности его применения к гипергеометрическим функциям с иррациональными параметрами. В этой ситуации исследование обычно основывается на эффективной конструкции функциональной приближающей формы (в методе Зигеля существование такой формы доказывается с помощью принципа Дирихле). Построение и исследование приближающей формы является первым шагом в сложном рассуждении, которое ведет к получению арифметического результата.
Используя эффективный метод, мы сталкиваемся по крайней мере с двумя проблемами, которые в значительной степени сужают область его применимости. Во-первых, неизвестна более или менее общая конструкция приближающей формы для произведений гипергеометрических функций. Используя метод Зигеля, мы не имеем дела с такой проблемой. По этой причине приходится рассматривать лишь вопросы линейной независимости над тем или иным алгебраическим полем. Выбор этого поля является второй проблемой.
Подавляющее большинство опубликованных результатов, относящихся к рассматриваемому кругу задач, имеет дело с мнимым квадратичным полем (или с полем рациональных чисел). Лишь в отдельных случаях удается провести соответствующее исследование для какого-либо другого алгебраического поля.
Мы рассматриваем здесь случай вещественного квадратичного поля. С помощью специального технического приема мы устанавливаем линейную независимость значений некоторой гипергеометрической функции с иррациональным параметром над таким полем.

Список литературы

1. Siegel C. L. Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929. № 1. S. 1–70.

2. Siegel C. L. Transcendental numbers. Princeton University Press. Princeton, 1949.

3. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа М.: Наука, 1987.

4. Шидловский А. Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // ДАН СССР. 1954. Т. 96, № 4. С. 697–700.

5. Шидловский А. Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений E-функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям второго порядка // ДАН СССР. 1966. Т. 169, № 1. С. 42–45.

6. Шидловский А. Б. Об алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических E-функций // Труды Московского математического общества. 1967. Т. 18. С. 55–64.

7. Белогривов И. И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических E-функций // ДАН СССР. 1967. Т. 174, № 2. С. 267–270.

8. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Вестник МГУ. Серия 1, математика, механика. 1978, № 5. С. 3–8.

9. Салихов В. Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений E-функций // Acta Arithm. 1990. 53:5. P. 453–471.

10. Черепнев М.А. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических E-функций // Математические заметки. 1995. 57:6. C. 896–912.

11. Салихов В. Х. Критерий алгебраической независимости значений гипергеометрических E-функций (четный случай) // Математические заметки. 1998. 64:2. C. 273–284.

12. Горелов В. А. Об алгебраической независимости значений обобщенных гипергеометрических функций // Математические заметки. 2013. 94:1. C. 94–108.

13. Горелов В. А. Об алгебраических свойствах решений неоднородных гипергеометрических уравнений // Математические заметки. 2016. 99:5. C. 658–672.

14. Osgood Ch. F. Some theorems on diophantine approximation // Trans. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 123, № 1. P. 64–87.

15. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8, № 1. С. 19–28.

16. Галочкин А. И. Уточнение оценок некоторых линейных форм // Математические заметки. 1976. Т. 20, № 1. С. 35–45.

17. Галочкин А. И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, № 6. С. 1220–1235.

18. Галочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм // Математический сборник. 1984. Т. 124, № 3. С. 416–430.

19. Коробов А. Н. Оценки некоторых линейных форм // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1983, № 6. С. 36–41.

20. Попов А. Ю. Приближения некоторых степеней числа e // Диофантовы приближения, часть I. Изд-во МГУ, 1985. С. 77–85.

21. Иванков П. Л. О приближении значений некоторых функций // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1994, № 4. С. 12–15.

22. Иванков П. Л. О совместных приближениях значений некоторых целых функций числами из кубического поля // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1987. № 3. С. 53–56.

23. Иванков П. Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сибирский математический журнал. 1993. Т. 34, № 5. С. 53–62.

24. Иванков П. Л. О приближении значений гипергеометрической функции с параметром из вещественного квадратичного поля // Математика и математическое моделирование. 2017, № 1. С. 25–33.

25. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, том 1. М.: Наука, 1967.


Для цитирования:


Иванков П.Л. О значениях гипергеометрической функции с параметром из квадратичного поля. Чебышевский сборник. 2019;20(2):178-185. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-178-185

For citation:


Ivankov P.L. On the values of hypergeometric function with parameter from quadratic field. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(2):178-185. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-178-185

Просмотров: 17


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)