Новое применение дисперсионного метода Линника

Аннотация

Пусть $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ --- две последовательности вещественных чисел с носителями на
отрезках $[M,2M]$ и $[N,2N]$, где $M = X^{1/2-\delta}$ и $N = X^{1/2+\delta}$. Мы доказываем
существование такой постоянной $\delta_{0}$, что мультипликативная свертка
$\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$ имеет уровень распределения $1/2+\delta-\varepsilon$ (в слабом смысле),
если только $0\leqslant \delta<\delta_{0}$, последовательность $\beta_{n}$ является
последовательностью Зигеля-Вальфиша, и обе последовательности $\alpha_{m}$ и $\beta_{n}$
ограничены сверху функцией делителей.
Наш результат, таким образом, представляет собой общую дисперсионную оценку
для "коротких"\, сумм II типа. Доказательство существенно использует дисперсионный метод Линника
и недавние оценки трилинейных сумм с дробями Клоостермана, принадлежащие Беттин и Чанди.
Также мы остановимся на применении полученного результата к проблеме делителей Титчмарша.