О двух асимптотических формулах в теории гиперболической дзета-функции решёток

Abstract

В работе рассматриваются новые варианты двух асимптотических формул из теории гиперболической дзета-функции решёток.

Во-первых, получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки, полученной растяжением в $t$ раз по каждой координате решётки состоящей из полных наборов алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел, пробегающих кольцо целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля степени $s$ для любого натурального $s\ge2$.

Во-вторых, получена новая асимптотическая формула для числа точек произвольной решётки в гиперболическом кресте.

В первом случае показано, что главный член асимптотической формулы для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки выражается через детерминант решётки, регулятор поля и значения дзета-функции Дедекинда главных идеалов и её производные до порядка $s-1$. Впервые выписана явная формула остаточного члена и дана его оценка.

Во втором случае главный член асимптотической формулы выражается через объём гиперболического креста и детерминант решётки. Даётся явный вид остаточного члена и уточненная его оценка.

В заключении описана суть метода параметризованных множеств, использованного при выводе асимптотических формул.