Теорема о среднем для неполных рациональных тригонометрических сумм

Аннотация

При 2k > 0.5n(n+1)+1 0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1,w = [lnn/lnp,] доказана асимптотическая формула для числа решений системы сравнений

{x₁ +···+ xk ≡ y₁ +···+ yk (mod p^m)

Xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod p^m)},

где неизвестные x₁,...,x_k,y₁,...,y_k пробегают значения от 1 до pm−l из полной системы вычетов по модулю p^m.

При 2k ≤ 0.5n(n + 1) + 1 найденная формула не имеет места. Пусть 1 ≤ s < r < ··· < n,s + r +···+ n < 0.5n(n + 1),0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1. Тогда при2 k > s + r +···+ n для числа решений системы сравнений

{xs/1 +···+ xs/k ≡ ys/1 +···+ ys/k (mod p^m)

xr/1 +···+ xr/k ≡ yr/1 +···+ yr/k (mod p^m)

xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod p^m)},

где неизвестные x₁,...,x_k,y₁,...,y_k принимают значения от 1 до p^m−l из полной системы вычетов по модулю p^m, найдена асимптотическая формула. Эта формула не имеет места при 2k ≤ s + r +···+ n.