Weighted number of points of algebraic net

The paper is devoted to the study of trigonometric sums of algebraic grids with weights, which play a Central role in the modification of K. K. Frolov’s method proposed by N. M. Dobrovolsky in 1984. The trigonometric sum of the algebraic grid with weights for the vector ⃗m = ⃗0 is naturally called the weighted number of points of the algebraic grid.

In the introduction of this paper, the justification of the relevance of the research topic is proposed, the necessary definitions and facts from the modern theory of K. K. Frolov’s method are given, an important theorem on the decomposition of the trigonometric sum of an algebraic grid with weights in a row by points of an algebraic grid is proved. In the section "Auxiliary lemmas"the necessary facts from the theory of weight functions of a special kind which play a principal role in modification of H. M. Dobrovolsky are given without proof. method K. K. Frolov.

Using a theorem on the decomposition of the trigonometric sum of an algebraic grid with weights in a row by points of an algebraic grid and a Lemma on the value of a trigonometric integral of the weight function, we derive an asymptotic formula for the weighted number of points of an algebraic grid with a special weight function of order 2, which States that such a number tends to unity.

Similarly, it is shown that when the determinant of an algebraic lattice grows for any vector ⃗m ≠ ⃗0, the trigonometric sum of algebraic grids with weights given by the special weight function tends to 0.

For simplicity, only the case of the simplest weight function of order 2 is considered in the main text of the article.

In conclusion, we formulate without proof similar statements about the values of trigonometric sums of algebraic grids with special weight functions of the order r + 1 for any natural R.

Namely, it is argued that for the weighted number of points of algebraic nets with a special weight function r is true desire-to-1 with the residual member of the order s−1 of the logarithm of the determinant is an algebraic lattice, divided by r + 1 the degree of the determinant is an algebraic lattice. A similar statement is true about the tendency to zero the trigonometric sum of an algebraic grid with weights given by a special weight function of the order r + 1.

1. Babenko, K.I. 1986, Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis], Nauka, Moscow, Russia.

2. Bakhvalov, N.S. 1959, “On approximate computation of multiple integrals”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 3–18.

3. Bocharova (Dobrovol’skaya), L.P. 2007, “Algorithms for finding the optimal coefficients”, Chebyshevskij sbornik, vol. 8, no. 1(21), pp. 4–109.

4. Gertsog, А.S., Е. Д. Ребров, Е. В. Триколич О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул // Чебышевский сб. — Т. X. Вып. 2(30). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2009. — С. 10–54.

5. Gertsog, А.S. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле Q(√2 + √3) // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 3. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. — С. 22–30.

6. Gertsog, А.S. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №23(188). Вып. 5. Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. С. 41–53.

7. Gertsog, А.S. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные формулы // Материалы международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии" посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2011. С. 242–247.

8. Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., Ogorodnichuk, N. K., Rebrov, E. D. & Rebrova, I. YU. 2012, “Some questions of the number-theoretic method in the approximate analysis”, Trudy X mezhdunarodnoj konferentsii “Аlgebra i teoriya chisel: sovremennye problemy i prilozheniya” Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of the X international conference "Algebra and number theory: modern problems and applications"scientific notes of Orel state University], no. 6, part 2, pp. 90-98.

9. Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M. & Dobrovol’skii, N. N. 2012, “The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients”, Chebyshevskij sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4–107.

10. Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, N. M. & Simonov, А.S. 2008, “On the error of approximate integration over modified grids”, Chebyshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185–223.

11. Dobrovol’skii, N. M. 1984, “Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids”, Dep. v VINITI, no. 6089–84.

12. Dobrovol’skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices”, Dep. v VINITI, no. 6090–84.

13. Dobrovol’skii, N. M. 1984, “On quadrature formulas in classes Eα s (c) and Hα s (c)”, Dep. v VINITI, no. 6091–84.

14. Dobrovol’skii, N. M. 1984, “Number-theoretic meshes and their applications”, Ph.D. Thesis, Tula, Russia.

15. Dobrovol’skii, N. M. 1985, “Number-theoretic meshes and their applications”, Abstract of Ph.D. dissertation, Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russia.

16. Dobrovol’skii, N. M. 1985, “Number-theoretic meshes and their applications”, Teoriya chisel i ee prilozheniya: Tezisy dokladov Vsesoyuznoj konferentsii, Tbilisi, USSR, pp. 67–70.

17. Korobov, N.M. 1959, “The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients”, Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19–25.

18. Korobov, N.M. 1959, “On approximate computation of multiple integrals”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 124, no. 6, pp. 1207–1210.

19. Korobov, N.M. 1960, “Properties and calculation of optimal coefficients”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009–1012.

20. Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.

21. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.

22. Lokutsievskij, O. V. & Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO “Yanus”, Moscow, Russia.

23. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Материалы 7 международной конференции <Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения>. 2010. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 153 — 158.

24. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина" Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2011. С. 153 — 158.

25. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник 2009 Т. 10, вып. 1(29). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 65–77.

26. Ребров Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 3(43). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 53 — 90.

27. Реброва И. Ю., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Балаба И. Н., Есаян А. Р., Басалов Ю. А. Теоретико-числовой метод в приближённом анализе и его реализация в ПОИВС «ТМК»: Моногр. В 2 ч. Под. ред. Н. М. Добровольского. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2016. – Ч. I. – 232 с.

28. Frolov, K.K. 1976, “Upper bounds on the error of quadrature formulas on classes of functions”, Doklady Аkademii nauk SSSR, vol. 231, no.4, pp. 818–821.

29. Frolov, K.K. 1979, Quadrature formulas on classes of functions, Ph.D. Thesis, Vychislitel’nyj tsentr Аkademii Nauk SSSR, Moscow, USSR.

30. Nikolay M. Dobrovolskiy, Larisa P. Dobrovolskaya, Nikolay N. Dobrovolskiy, Nadegda K. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithms fot computing optimal coefficients // Book of abstracts of the International scientific conference "Computer Algebra and Information Technology", Odessa, August 20—26, 2012. p. 22 — 24.