НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Работа посвящена обзору основных результатов, полученных при решении экстремальных задач Турана и Дельсарта на торе; экстремальных задач Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана на евклидовом пространстве, полупрямой и гиперболоиде. Приводятся также результаты, полученные при решении близкой задачи об оптимальном аргументе в модуле непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве L² на евклидовом пространстве и полупрямой. Большая часть результатов была получена авторами обзора. В основу обзора лег доклад, сделанный В.И. Ивановым на симпозиуме «6th Workshop on Fourier Analysis and Related Fields, Pecs, Hungary, 24-31 August 2017». Решается также задача об оптимальном аргументе на гиперболоиде. В качестве основного аппарата при решении экстремальных задач на полупрямой используются квадратурные формулы Гаусса и Маркова на полупрямой по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля. Для многомерных экстремальных задач осуществляется редукция к одномерным задачам с помощью усреднения допустимых функций по евклидовой сфере. Во всех случаях экстремальная функция единственна.

преобразования Фурье, Ганкеля и Якоби, экстремальные задачи Турана, Фейера, Дельсарта, Бомана и Логана, квадратурные формулы Гаусса и Маркова

1. Stechkin S.B. An extremal problem for trigonometric series with nonnegative coefficients // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1972. Vol. 23, № 3-4. P. 289–291.

2. Горбачев Д.В., Маношина А.С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688–700.

3. Fej´er L. ¨Uber trigonometrische Polynome // J. Angew. Math. 1915. Vol. 146. P. 53–82.

4. Иванов В.И., Рудомазина Ю.Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941–945.

5. Иванов В.И., Горбачев Д.В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 92–111.

6. Иванов В.И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 934–939.

7. Ivanov V.I., Ivanov A.V. Tur´an problems for periodic positive definite functions // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 2010. Vol. 33. P. 219–237.

8. Андреев Н.Н. Экстремальная задача для периодических функций с малым носителем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1997. № 1. С. 29–32.

9. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346–352.

10. Siegel C.L. ¨Uber Gitterpunkte in konvexen K¨orpern und damit zusammenh¨angendes Extremal problem // Acta Math. 1935. Vol. 65, № 1. P. 307–323.

11. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier Transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 189–206.

12. Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy. On a problem of Tura´n about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 131. P. 3423–3430.

13. Арестов В.В., Бердышева Е.Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Тр. ИММ УрО РАН. 2001. Т. 7, № 1. С. 21–29.

14. Arestov V.V., Berdysheva E.E. The Tur´an problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol. 8, № 3. P. 381–388.

15. Kolountzakis M.N., R´ev´esz Sz.Gy. Tur´an’s extremal problem for positive definite functions on groups // J. London Math. Soc. 2006. Vol. 74. P. 475–496.

16. R´ev´esz Sz.Gy. Tur´an’s extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. Vol. 37, № 1. P. 15–50.

17. Viazovska M.S. The sphere packing problem in dimension 8 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 991–1015.

18. Cohn H., Kumar A., Miller S.D., Radchenko D., Viazovska M. The sphere packing problem in dimension 24 // Annals of Math. 2017. Vol. 185, № 3. P. 1017–1033.

19. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Rn шарами // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6, № 1. С. 71–78.

20. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. Vol. 6. P. 329–353.

21. Левенштейн В.И. Границы для упаковок в n-мерном Евклидовом пространстве // Докл. АН СССР. 1979. Т. 20. С. 417–421.

22. Юдин В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для триигонометрических полиномов // Дискрет. матем. 1989. Т. 1, № 2. С. 155–158.

23. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки. 1976. Т. 20, № 3. С. 439– 444.

24. Иванов В.И. Приближение функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15–40.

25. Bohman H. Approximate Fourier analysis of distribution functions // Ark. Mat. 1960. Vol. 4. P. 99–157.

26. Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356. P. 4655–4685.

27. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 249– 252.

28. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. Vol. 14, № 2. P. 253–257.

29. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179–187.

30. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Тр. МИАН. 1967. Т. 88. С. 71–74.

31. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. T. 29, № 2. С. 158–162.

32. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С. 336–350.

33. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trigonometric polynomials // Approximation and functions spaces: Proc. intern. conf., Gdansk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25—43.

34. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94, № 3. С. 338—348.

35. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26–44.

36. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29–58.

37. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Данкля // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 4. С. 115–123.

38. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Математика. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой

39. Горбачев Д.В. Экстремальная задача Бомана для преобразования Фурье–Ганкеля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 5–10.

40. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

41. Frappier C., Olivier P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. Comp. 1993. Vol. 60. P. 303–316.

42. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formula with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 715–725.

43. Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 92, № 2. С. 267–279.

44. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Квадратурные формулы Гаусса и Маркова по нулям собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, точные для целых функций экспоненциального типа // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 63–98.

45. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. The convolution structure for Jacobi function expansions // Ark. Mat. 1973. Vol. 11. P. 245–262.

46. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. Jacobi functions: The addition formula and the positivity of dual convolution structure // Ark. Mat. 1979. Vol. 17. P. 139–151.

47. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Tur´an’s and Fej´er’s extremal problems for Jacobi transform // Anal. Math. 2017. [In press]

48. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Smirnov O.I. The Delsarte Extremal Problem for the Jacobi Transform // Math. Notes. 2016. Vol. 100, № 5. P. 677–686.

49. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Экстремальная задача Бомана для преобразования Якоби // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 126–135.

50. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Some extremal problems for Fourier transform on hyperboloid // Math. Notes. 2017. Vol. 102, № 4. P. 480–491.

51. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A. Optimal Argument in Sharp Jackson’s inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Math. Notes. 2014. Vol. 96, № 6. P. 338–348.

52. Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Якоби // Матем. заметки. 2015. Т. 97, № 6. С. 815—831.

53. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Приближение в L2 частичными интегралами преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Матем. заметки. 2016. Т. 100, № 4. С. 519–530.

54. Горбачев Д.В., Иванов В.И., Вепринцев Р.А. Приближение в L2 частичными интегралами многомерного преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля // Тр. ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 136–152.

55. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, № 2. С. 34–53.

56. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

57. Лизоркин П.И. Прямые и обратные теоремы теории приближе- ний для функций на пространстве Лобачевского // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 120–147.

58. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравенство Джексона в L2 на гиперболоиде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, № 1. С. 54–58.

59. Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона–Стечкина в L2 на гиперболоиде // Тр. ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5, № 4. С. 254–266.

60. Петрова И.В. Приближение на гиперболоиде в метрике L2 // Тр. МИАН. 1992. Т. 194. С. 215–228.