ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ РЕШЕНИЙ ОСНОВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В статье рассматриваются начально-краевые задачи для линейных дифференциальных  уравнений математической физики (эллиптических, гиперболических и параболических) с  переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени. Такие уравнения вместе с входными данными будем называть исходными. Уравнения с переменными  коэффициентами описывают процессы в композиционных материалах, у которых  механические характеристики меняются либо скачком либо непрерывно в пограничной  области между фазами. Многие задачи из различных разделов линейной и нелинейной  механики сводятся к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами. В  случае периодических по координатам коэффициентов одним из популярных способов  решения уравнений является метод осреднения Бахвалова–Победри (МБП), основанный на  представлении решения исходной задачи в виде асимптотического ряда по степеням малого геометрического параметра, равного отношению характерного размера ячейки  периодичности к характерному размеру тела. В этом методе исходная краевая задача  сводится к двум рекуррентным последовательностям задач. Первая рекуррентная последовательность заключается в нахождении периодических решений вспомогательных  задач в ячейке периодичности. Вторая последовательность состоит в решении начально- краевых задач для уравнения с постоянными эффективными коэффициентами. Эти  коэффициенты находятся после решения на ячейке периодичности вспомогательных задач.  Базой рекурсии во второй последовательности в МБП служит решение начально-краевой задачи для уравнения с эффективными коэффициентами в области определения, имеющей  ту же самую форму и точно с такими же входными данными, что и исходная задача. Входные данные в каждой из рекуррентных последовательностей на каком либо шаге находятся лишь после того как решены все предыдущие рекуррентные задачи. В настоящей  статье получены новые интегральные формулы, позволяющие выразить решение исходной  задачи для уравнения с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени, через решение такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами.  Уравнение с постоянными коэффициентами называется сопутствующими уравнениями, а  задача соответственно сопутствующей задачей. В ядро интегральной формулы входит функция Грина и разность коэффициентов исходного и сопутствующего уравнений. С  помощью разложения сопутствующего решения в многомерный ряд Тейлора из интегральной формулы получено эквивалентное представление решения исходной задачи в  виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи.  Коэффициенты при производных называются структурными функциями. Они являются  непрерывными функциями координат и времени, обращающимися в нуль при совпадении  исходных и сопутствующих коэффициентов. Для определения структурных функций  построена система рекуррентных уравнений. Через структурные функции определяются коэффициенты сопутствующих уравнений, совпадающие в периодическом случае с  эффективными коэффициентами в МБП. В отличие от метода Бахвалова–Победри в новом  подходе нужно решать одну рекуррентную последовательность задач для нахождения  структурных функций и один раз решить задачу для однородного тела с эффективными характеристиками.

1. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. 367 с.

2. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.Перевод с английского Е.В. Малиновской под редакцией академика H.H. Боголюбова. М.: Иностранная литература, 1960. 511 с.

3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1963. 412 с.

4. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974. 416 с.

5. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. 1983. 448 с.

6. Бахвалов Н.С., Панасенко Г. П. Осредненние процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

7. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

8. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

9. Шкиль Н. И., Вороной А. Н, Лейфура В. Н. Асимптотические методы в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Киев: Вища школа, 1985. 248 с.

10. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Маневич Л. И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. 221 с.

11. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

12. Kalamkarov A. L. Composite and reinforced elements of construction. Baffins Lane, Chechester,West Sussex PO19, England.: John wiley & Sons Ltd. 1992.286 c.

13. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1993. 462 с.

14. Levinski T., Telega J. J. Plates, Laminates and shells. Asymptotic Analysis and Homogenization. N.J.: World Scientific Publishing Co, 2000. 739 c.

15. Бардзокас Д. И., Зобнин А. И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Едиториал УРСС. 2003. 376 c.

16. Колпаков А. Г. Композиционные материалы и элементы конструкций с начальными напряжениями. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2007. 254 с.

17. Большаков В. И., Андрианов И. В., Данишевский В. В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: Пороги. 2008. 197 с.

18. Левин В. А., Лохин В. В., Зингерман К. М. Об одном способе оценки эффективных характеристик пористых тел при конечных деформациях // Известия РАН. Механика твердого тела, 1997. № 4. С. 45–50.

19. Левин В. А., Лохин В. В., Зингерман К. М. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН. 2002.Т. 382. № 4. С. 482–487.

20. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ. 1995. 366 с.

21. Зубчанинов В. Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа. 1990. 368 с.

22. Морозов Е. М., Левин В. А., Вершинин А. В. Прочностной анализ. ФИДЕСИС в руках инженера. М.: ЛЕНАНД, 2015.

23. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа. 1999. 695 с.

24. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Изд.2. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

25. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

26. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 443 с.

27. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

28. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

29. Горбачев В. И. О распространении тепла в неоднородном стержне с переменным поперечным сечением // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2017. №2. С. 48–54.

30. Gorbachev V. I. Integral formulas in electromagnetic elasticity of heterogeneous bodies. application in the mechanics of composite materials // Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International J. // 2017. V. 8. № 2. С. 147–170.

31. Горбачев В. И. О собственных частотах продольных колебаний неоднородного стержня с переменным поперечным сечением // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2016. №1. С. 31–39.

32. Горбачев В. И. Интегральные формулы в связанной задаче термоупругости. Применение в механике композитов // Прикладная математика и механика. 2014. Т.78. № 2. С. 277–299.

33. Горбачев В. И., Москаленко О. Б. Устойчивость стержней с переменной жесткостью при сжатии распределенной нагрузкой // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2012. №2. С. 41–47.

34. Горбачев В. И. Динамические задачи механики композитов // Известия РАН. Серия физическая. 2011. Т. 75. № 1. С. 117–122.

35. Горбачев В. И. О колебаниях в неоднородном упругом теле. Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. Москва, 20-21 января 2011 г. М.: Изд-во МГУ. 2011. С. 319–326.

36. Горбачев В. И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2009. №6. C. 52–56.

37. Архангельский А. Ф., Горбачев В. И. Эффективные характеристики гофрированных пластин // Изв. РАН МТТ. 2007. № 3. С. 137–155

38. Горбачев В. И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. № 2. 61–76.

39. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

40. Олехова Л. В. Кручение неоднородного анизотропного стержня. Диссертация кандидата физико-математических наук. Master’s thesis, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, 2009.

41. Емельянов А. Н. Эффективные характеристики в моментной теории упругости. Диссертация кандидата физико-математических наук. Master’s thesis, МГУ им. М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, 2016.