О drl-ПОЛУГРУППАХ И drl-ПОЛУКОЛЬЦАХ

Аннотация

В статье изучаются drl-полукольца. Полученные результаты верны также для drl-полугрупп, поскольку drl-полукольцом будет drl-полугруппа с нулевым умножением. Указанные алгебры имеют связь с двумя проблемами: 1) существует ли абстрактная конструкция, объединяющая как булевы алгебры, так и решеточно упорядоченные группы? (Г. Биркгоф); 2) рассмотреть решеточно упорядоченные полукольца (Л. Фукс). Одной из возможных конструкций, удовлетворяющей условиям первой проблемы, является drl-полугруппа, определенная K. L. N. Swamy в 1965 г. Как решение второй проблемы в 1981 г. Rango Rao ввел в обиход l-полукольцо. Для последней алгебры мы используем название drl-полукольца. В настоящей статье основным объектом исследования является drl-полукольцо. Нами обобщаются результаты Swamy, полученные им для drl-полугрупп, а в некоторых случаях уточняются. Известно, что любое drl-полукольцо раскладывается в прямую сумму S= L(S) ⊕ R(S) положительно упорядоченного drl-полукольца L(S) и l-кольца R(S). Указывается условие, при котором L(S) обладает наименьшим и наибольшим элементами (теорема 2). В теореме 3 найдены необходимые и достаточные условия разложения drl-полукольца в прямую сумму l-кольца и брауэровой решетки, а в теореме 4 — l-кольца и булевой алгебры. Теоремы 5 и 6 характеризуют l-кольцо и аддитивно сократимое drl-полукольцо в терминах симметрической разности. Наконец, мы показываем, что произвольная конгруэнция на drl-полукольце является отношением Берна.