МЕТОДЫ ОЦЕНОК КОРОТКИХ СУММ КЛООСТЕРМАНА
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-4-79-109
Аннотация
Настоящий обзор представляет собой развёрнутое содержание мини -курса, прочитанного автором в ноябре 2015 г. во время “Китайско-Российского симпозиума по тригонометрическим суммам и суммам множеств”. Это мероприятие, проходившее в Академии математики и системных наук (Пекин), было организовано профессорами Чаохуа Жиа (Институт математики Китайской академии наук) и Ке Гонгом (Университет Хенань), которым автор приносит глубокую благодарность за всяческую поддержку и гостеприимство. Обзор состоит из Введения, трёх частей и Заключения. Во Введении даются определения и приводятся основные факты, связанные с оценками полных сумм Клоостермана. В первой части излагается метод оценки неполных сумм Клоостермана по специальному модулю, равному растущей степени фиксированного простого числа. Этот метод основан на идее А. Г. Постникова, которая сводит оценку таких сумм к оценкам тригонометрических сумм с многочленом в показателе экспоненты с помощью теоремы о среднем И. М. Виноградова. Во второй части излагается метод А. А. Карацубы оценок неполных сумм Клоостермана по произвольному модулю, который основан на весьма точной оценке числа решений симметричного сравнения, содержащего обратные величины по заданному модулю. Эта оценка играет в рассматриваемых здесь вопросах ту же роль, что и теорема о среднем И. М. Виноградова при оценке соответствующих тригонометрических сумм. В третьей части излагается метод Ж. Бургейна и М. З. Гараева, в основе которого лежит глубокая теорема об “оценке сумм-произведений”, а также уточнение оценки А. А. Карацубы числа решений симметричного сравнения. В Заключении сформулирован ряд новых результатов об оценках коротких сумм Клоостермана, полученных в последние годы, доказательства которых не вошли в настоящий обзор.
Список литературы
1. Salie H. ‥Uber die Kloostermanschen Summen S(u,v; q) // Math. Z.,1. Salie H. ‥Uber die Kloostermanschen Summen S(u,v; q) // Math. Z., 34 (1931), 91–109.
2. Whiteman A.L. A note on Kloosterman sums // Bull. Amer. Math. Soc. 51:6 (1945), 373–377.
3. Williams K.S. Note on the Kloosterman sum // Proc. Amer. Math. Soc. 30:1 (1971), 61–62.
4. Kloosterman H.D. On the representation of numbers in the form ax2+by2+cz2+dt2 // Acta Math., 49 (1926), 407–464.
5. Виноградов И.М. Об одной тригонометрической сумме и ее приложениях в теории чисел // Доклады АН СССР. Нов. сер., 5 (1933), 195–204.
6. Виноградов И.М. О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях, Доклады АН СССР. Нов. сер., 6 (1933), 249–255.
7. Виноградов И.М.Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля // Доклады АН СССР. Нов. сер., 5 (1934), 225–229.
8. Tolev D.I. An identity for the Kloosterman sum // arXiv:1007.2054 [math.NT] (2010).
9. Salie H. Zur Absch‥atzung der Fourierkoeffizienten ganzer Modulformen // Math. Z., 36 (1932), 263–278.
10. Davenport H. On certain exponential sums // J. reine angew. Math., 169 (1933), 158–176.
11. Weil A. On some exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 34 (1948), 204–207.
12. Степанов С.А. Об оценке сумм Клостермана // Изв. АН СССР. Сер. матем., 35:2 (1971), 308–323.
13. Королёв М.А. О нелинейной сумме Клоостермана // Чебышевский сб., 17:1 (2016), 140–147.
14. Карацуба А.А. Распределение обратных величин в кольце вычетов по заданному модулю // Доклады АН, 333:2 (1993), 138–139.
15. Карацуба А.А. Дробные доли специального вида функций // Изв. РАН. Сер. матем.,59:4 (1995), 61–80
16. Карацуба А.А. Аналоги сумм Клоостермана // Изв. РАН. Сер. матем., 59:5 (1995), 93– 102.
17. Карацуба А.А. Суммы дробных долей специального вида функций // Доклады АН, 54:1 (1996), 541.
18. Карацуба А.А. Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения // Tatra Mt. Math. Publ., 11 (1997), 89–120.
19. Карацуба А.А. Двойные суммы Клоостермана // Матем. заметки, 66:5 (1999), 682–687.
20. Постников А.Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР. Сер. матем., 19:1 (1955), 11–16.
21. Postnikov A.G. On dirichlet L-series with the character modulus equal to the power of a prime number // J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20 (1956), 217–226.
22. Королёв М.А. Неполные суммы Клоостермана и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем., 64:6 (2000), 41–64.
23. Бургейн Ж., Гараев М.З. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана // Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 19–72.
24. Heath-Brown D.R. Arithmetic applications of Kloosterman sums // Nieuw. Arch. Wiskd., 5/1:4 (2000), 380–384.
25. Устинов А.В. Приложения сумм Клоостермана к арифметике и геометрии. Алгоритм Евклида, цепные дроби, решетки и числа Фробениуса. Lambert Academic Publishing, 2011.
26. Виноградов И.М. Новые приложения тригонометрических сумм // Доклады АН СССР. Нов. сер., 1 (1934), 10–14.
27. Виноградов И.М. Новые асимптотические выражения // Доклады АН СССР. Нов. сер., 1 (1934), 49–51.
28. Розин С.М. О нулях L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем., 23:4 (1959), 503–508.
29. Чудаков Н.Г. О нулях L-функций Дирихле для модулей, равных степеням нечётного простого // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех. астрон., 1 (1966), 93–98.
30. Карацуба А.А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:1 (1964), 237–248.
31. Чубариков В.Н. Уточнение границы нулей L-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 2 (1973), 46–52.
32. Burgess D.A. The distribution of quadratic residues and non-residues // Mathematika, 4:1 (1957), 106–112.
33. Burgess D.A. On character sums and primitive roots // Proc. London Math. Soc. (3), 12 (1962), 179–192.
34. Burgess D.A. On character sums and L-series // Proc. London Math. Soc. (3), 12 (1962), 193–206.
35. Карацуба А.А. Суммы характеров с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 34:2 (1970), 299–321.
36. Копанева А.А. Оценка коротких сумм характеров Дирихле по сдвинутым простым числам // Чебышевский сб., 9:1 (2008), 122–143.
37. Копанева А.А., Бурлакова Е.А. Оценка сумм характеров по сплошному промежутку суммирования // Чебышевский сб., 14:2 (2013), 118–122.
38. Степанов С.А., Шпарлинский И.Е. Об оценке тригонометрических сумм с рациональными и алгебраическими функциями. // В сб.: Автоморфные функции и теория чисел. Владивосток, 1989. С. 5–18.
39. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М., Наука, 1983.
40. Карацуба А.А. Оценки тригонометричеких сумм особого вида и их приложения // Докл. АН СССР, 137 (1961), 513–514.
41. Карацуба А.А. Рациональные тригонометрические суммы специального вида и их приложения. Автореферат дисс. на соискание уч. ст. к. ф.-м. н. М., МГПИ им. В.И. Ленина, 1962.
42. Виноградов А.И. О числах с малыми простыми делителями // Доклады АН СССР, 109:4 (1956), 683–686.
43. Королёв М.А. О методе Карацубы оценок сумм Клоостермана // Мат. сборник, 207:8 (2016), 117–134.
44. Прахар К. Распределение простых чисел. М., Мир, 1967.
45. Bourgain J., Garaev M.Z. Kloosterman sums in residue rings // Acta Arith., 164:1 (2014), 43–64.
46. Bourgain J. Multilinear exponential sums in prime fields under optimal entropy condition on the sources // Geom. Funct. Anal., 18:5 (2009), 1477–1502.
47. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М., Физматлит, 1994.
48. Iwaniec H. On zeros of Dirichlet L-series // Invent. Math. 23 (1974), 97–104.
49. Королев М.А. Короткие суммы Клоостермана по мощному модулю // Доклады РАН, 470:5 (2016), 505–507
50. Petridis G., Shparlinski I.E. Bounds of trilinear and quadrilinear exponential sums // arXiv:1604.08469v2 [math.NT].
51. Королёв М.А. О коротких суммах Клоостермана по простому модулю // Матем. заметки, 100:6 (2016), 843–851.
52. Hajela D., Pollington A., Smith B. On Kloosterman sums with oscillating coefficients // Canad. Math. Bull. 31:1 (1988), 32–36.
53. Wang G., Zheng Z. Kloosterman sums with oscillating coefficients // Chinese Ann. Math., 19 (1998), 237–242 (Chinese); English transl.: Chinese J. Contemp. Math. 19 (1998), 185–191.
54. Deng P. On Kloosterman sums with oscillating coefficients // Canad. Math. Bull. 42:3 (1999), 285–290.
55. Gong K., Jia C. Kloosterman sums with multiplicative coefficients // Sci. China Math. 59:4 (2016), 653–660.
56. Королёв М.А. Короткие суммы Клоостермана с весами // Матем. заметки, 88:3 (2010), 415–427.
57. Korolev M.A., On Kloosterman sums with multiplicative coefficients // arXiv: 1610.09171 [math.NT].
Рецензия
Для цитирования:
Королёв М.А. МЕТОДЫ ОЦЕНОК КОРОТКИХ СУММ КЛООСТЕРМАНА. Чебышевский сборник. 2016;17(4):79-109. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-4-79-109
For citation:
Korolev M.A. METHODS OF ESTIMATING OF INCOMPLETE KLOOSTERMAN SUMS. Chebyshevskii Sbornik. 2016;17(4):79-109. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-4-79-109
Просмотров: 556
Послать статью по эл. почте 