ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ В ГРУППАХ КОКСТЕРА

Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Дэном, являются проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп. Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дэна, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова, доказавшего неразрешимость проблем равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также неразрешимость проблемы изоморфизма групп. В связи с этим основные алгоритмические проблемы и их различные обобщения изучаются в определенных классах групп. Группы Кокстера введены Х. С. М. Кокстером: всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. Х. Кокстер перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера, а всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку. В алгебраическом аспекте группы Кокстера изучаются с работ Ж. Титса, которым решена проблема равенства слов в произвольных группах Кокстера. В данной статье рассматриваются известные результаты, полученные в решении алгоритмических проблем в группах Кокстера, основной же целью работы является анализ результатов по решению алгоритмических проблем в группах Кокстера, полученных членами Тульской алгебраической школы "Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп" под руководством В. Н. Безверхнего. Дан обзор утверждений и теорем, доказанных авторами статьи для различных классов групп Кокстера: групп Кокстера большого и экстрабольшого типов, групп Кокстера с древесной структурой, групп Кокстера с n-угольной структурой. Приводятся основные подходы и методы доказательства, среди которых метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним, в части, введения R-сокращений, специальных R-сокращений, специальных кольцевых сокращений, а также метод графов, метод типов, введенный В. Н. Безверхним, метод специального множества слов, разработанный В. Н. Безверхним на основе обобщения метода Нильсена на свободные конструкции групп. Рассмотренные в статье классы групп включают все группы Кокстера, которые либо принадлежат данным классам групп, либо могут быть представлены как обобщенные древесные структуры групп Кокстера, образованные из групп Кокстера с древесной структурой заменой некоторых вершин соответствующего дерева-графа группами Кокстера большого или экстрабольшого типов, а также группами Кокстера с n-угольной структурой.

1. Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections // Ann. Math. 1934. Vol. 35. P. 588-621.

2. Tits J. Groupes simples et geometries associees // Proc. Int. Congress Math. Stocholm. 1962. P. 197-221.

3. Schupp P. Coxeter Groups, 2-Completion, Perimeter Reduction and Subgroup Separability // arXiv math. GR/0203020. 2002. Vol. 1. P. 1-21.

4. Appel К., Schupp P. Artins groups and infinite Coxter groups // Ivent. Math. 1983. Vol. 72.

5. P. 201-220.

6. Безверхний В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Коксетера большого типа // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1986. — С. 26-61.

7. Kapovich I., Schup P. Bounded rank subgroups of Coxeter groups, Artin groups and one-relator groups with torsion // London Math. Soc. 2004. Vol. 88. P. 89-113.

8. Безверхний B. H., Добрынина И. В. Решение проблемы сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Чебышевский сборник. 2003. Т. 4, №1(5). С. 10-33.

9. Безверхний B. H., Добрынина И. В. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Дискретная математика. 2005. Т. 17, №3. С. 123-145.

10. Безверхний B. H., Добрынина И. В. Об элементах конечного порядка в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, №1. С. 13-22.

11. Безверхний B.H., Добрынина И. В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, №1. С. 23-37.

12. Безверхний B. H., Добрынина И.В. Решение проблемы слабой степенной сопряженности слов в группах Кокстера большого типа // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, №1. С. 38-46.

13. Безверхний B. H., Добрынина И. В. Решение проблемы степенной сопряженности слов в группах Кокстера экстрабольшого типа // Дискретная математика. 2008. Т. 20, №3. С. 101- 110.

14. Добрынина И. В. О подгруппах в группах Кокстера экстрабольшого типа // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, № 1 (25). С. 9-15.

15. Безверхний B.H., Инченко О. В. Централизатор элементов конечного порядка конечно порожденной группы Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, №1(25). С. 17-28.

16. Инченко О. В. Проблема обобщенной сопряженности слов в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Выпуск 2. С. 40-48.

17. Безверхний B. H. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением // Алгоритмические проблемы теории групп полугрупп и их приложение. Тула. ТГПИ. 1986. С. 3-22.

18. Безверхний B. H. О пересечении подгрупп в HNN-группах // Фундамент. и прикл. матем.,1998. 4:1, С. 199–222.

19. Безверхний B. H., Инченко О. В. Проблема пересечения конечно порожденных подгрупп в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Выпуск 2. С. 16-31.

20. Инченко О. В. О проблеме пересечения классов смежности конечно порожденных подгрупп в группе Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17, №2(58). С. 146-162.

21. Безверхний B. H., Инченко О. В. Проблема сопряженности подгрупп в конечно порожденных группах Кокстера с древесной структурой // Чебышевский сборник. 2010. Т. 11, №3. С. 32-56.

22. Безверхний B. H. Решение проблемы вхождения в классе HNN-групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула, 1981. С. 20-62.

23. Безверхний B. H., Добрынина И. В. О проблеме свободы в группах Кокстера с древесной структурой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. №1-1. С. 5-13.

24. Добрынина И. В. О нормализаторах в некоторых группах Кокстера // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. № 2 (58). С. 113-127.

25. Добрынина И. В. О построении нормализатора конечно порожденной подгруппы в группе Кокстера с древесной структурой // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2016. №8. С. 26-28.

26. Добрынина И. В., Инченко О. В. О некоторой проблеме в группах Кокстера с древесной структурой // Алгоритмические проблемы в алгебре и теории вычислимости. Международная научная конференция, посвященная 75-летию Д.И. Молдаванского. Сборник трудов. Иваново: ИвГУ, 2015. С. 35-40.

27. Безверхний В.Н., Добрынина И.В. О построении изолятора подгруппы в некотором классе групп Кокстера // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казанский университет, 2016. С. 108-109.

28. Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б. Решение проблемы равенства и сопряженности слов в некотором классе групп Артина и Кокстера // Алгоритмические проблемы в алгебре и теории вычислимости. Международная научная конференция, посвященная 75-летию Д. И. Молдаванского. Сборник трудов. Иваново: ИвГУ, 2015. С. 11-16.

29. Безверхний В. Н., Безверхняя Н. Б. Проблемы равенства и сопряженности слов в группах Артина, Кокстера с n-угольной структурой // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2016. № 8. С. 9-10.

30. Безверхний В. Н., Устян A. E. Проблема степенной сопряженности слов в моноидах Артина большого типа //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 2001. С. 139-164.

31. Безверхний В. Н., Устян A.E. Обобщения теорем В. Магнуса и М. Д. Гриндлингера // Чебышевский сб. 2013. T.14, №3. C. 20–33.