О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Аннотация

При исследовании генераторов псевдослучайных чисел одна из проблем --- является ли периодической вырабатываемая генератором последовательность? Некоторые генераторы в принципе дают периодическую последовательность.

Для того, чтобы избавиться от периодичности или увеличить длину периода, применяются различные методы. Упомянем фильтрующие или комбинирующие генераторы. Однако их использование может привести к тому, что общая длина вырабатываемой последовательности сократится.

Выразим общую идею предлагаемого другого подхода следующими словами: требуется указать простой способ, который вносит беспорядок в изначально упорядоченное множество. Представим себе, что заданная периодическая последовательность состоит из цифр в некоторой позиционной системе счисления. Сопоставим этим цифрам новое число, полученное в результате некоторого, достаточно простого, преобразования этой последовательности цифр. Если это новое число является иррациональным, то последовательность его цифр является непериодической.

Например, если рассматривать натуральные числа \(a_1,\ldots,a_T\) как элементы периодической цепной (непрерывной) дроби, то по теореме Лагранжа, полученное число является квадратичной иррациональностью. Отметим, что это число является плохо приближаемым рациональными числами.

Другой способ, основанный на той же основной идее состоит в рассмотрении рядов вида
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}$$
с периодической последовательностью целых чисел \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\) возможность получения оценки порядка приближения этих чисел.

Однако для вычисления цифр числа такого вида требуется много операций деления. Можно рассмотреть ряды вида
$$\sum_{n=0}^\infty a_n n!$$
с периодической последовательностью натуральных чисел \(\{a_n\}, a_{n+T}=a_n\). Описываются некоторые свойства таких рядов.